Introducción a los conjuntos
Hola, y bienvenido a esta lección sobre el reconocimiento de conjuntos de poder en álgebra.
Supongo que el mejor lugar para comenzar es discutir qué es un conjunto . Un conjunto es una reunión (o una colección) de ciertos elementos o elementos. Eso es todo; simplemente uniendo las cosas. Puedes tener conjuntos de muchas cosas. Puede tener juegos de juguetes, frutas, animales o cualquier cosa en realidad.
Piense en ello como una colección. ¿Coleccionáis series de películas? Bueno, para tener un conjunto de cualquier serie, tendrías que tener todas las películas de la serie. Eso hace el set. Si no tuviera todas las películas de una serie, tendría lo que se llama un subconjunto . Un subconjunto es un conjunto formado por los elementos de otro conjunto. En el ejemplo de la película, si tuviera las dos primeras películas de la trilogía El señor de los anillos pero no la tercera, tendría un subconjunto del conjunto de la serie de películas. Tal vez tengas la primera película y la tercera, pero no la segunda; ese es otro subconjunto del conjunto completo de la serie de películas.
Ejemplo visual de un conjunto de potencia
Echemos un vistazo a una imagen para ver cuántos subconjuntos puede obtener de un conjunto. Usaré helado para este ejemplo: fresa, chocolate y vainilla. Escrito algebraicamente usando iniciales, el conjunto se vería así: {S, C, V}. Entonces, ¿cuántos subconjuntos podemos obtener de este conjunto de tres elementos? La pregunta realmente puede plantearse como: ¿De cuántas formas diferentes se pueden organizar estos tres elementos?
Primero, tiene un subconjunto de nada en absoluto, o {}. Sí, un conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.
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Entonces tienes un subconjunto que consta de cada sabor por sí mismo: {S}, {C} y {V}. El siguiente conjunto de subconjuntos serían los diferentes emparejamientos de dos opciones cada uno, como: {S, C}, {S, V} y {C, V}. El subconjunto final es el subconjunto que incluye todos los elementos: {S, C, V} Estas ocho opciones son todos los subconjuntos posibles para el conjunto {S, C, V}.
Juntos, todos estos subconjuntos forman un conjunto de potencias . Un conjunto de potencias es un conjunto que contiene todos los posibles subconjuntos de un conjunto dado. El conjunto de potencia se indica así: P ( S ) =. Entonces, para nuestro ejemplo de helado, la notación de conjunto de potencia sería:
P (S, C, V) = {{}, {S}, {C}, {V}, {S, C}, {S, V}, {C, V}, {S, C, V} }
¿Notó que los conjuntos de ninguno de los elementos y todos los elementos son subconjuntos, así como todas las combinaciones de los elementos? Eso es importante de recordar.
Ejemplo numérico de un conjunto de potencias
¿Por qué alguna vez necesitarías usar conjuntos de poderes en álgebra (o en la vida real, para el caso)?
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Bueno, los conjuntos de potencia se pueden usar para identificar todas las diferentes formas en que se pueden juntar los elementos. Tal vez necesite resolver los diferentes grupos posibles para un conjunto de estudiantes, o tal vez desee descubrir cómo colocar una colección de artículos en un escaparate; Puede utilizar conjuntos de potencias para identificar todas las diferentes formas en que podría agrupar sus elementos.
Pero otro uso para ellos es determinar todos los factores de un número. Los conjuntos de potencia son una herramienta increíble para encontrar todos los factores para cualquier número imaginable.
Bien, entonces, ¿puedes decirme todos los factores del número 130? (Recuerde que un factor es un número que se puede multiplicar por otro número para dar como resultado el producto dado).
Para determinar todos los factores de 130, primero comenzamos por identificar los factores primos , que son aquellos factores de un número dado que solo se pueden dividir entre ellos mismos y 1.
El conjunto de factores primos para 130 es ( S ) = {2, 5, 13}
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Ahora, creamos una tabla para mostrar el conjunto de potencia de este conjunto de factores primos.
La primera fila de la tabla es el conjunto vacío y se asigna un factor de 1 porque 1 es la identidad multiplicativa. Las siguientes tres filas son los subconjuntos con un solo elemento; el elemento real será el factor resultante. Las siguientes tres filas son los subconjuntos con solo dos elementos. El factor enumerado es el producto de los dos elementos del subconjunto. Finalmente, tiene el subconjunto que consta de todos los elementos del conjunto original y el factor es, por supuesto, el número dado en el ejemplo.
| Subconjunto | Factor | |
|---|---|---|
| 1 | {} | 1 |
| 2 | {2} | 2 |
| 3 | {5} | 5 |
| 4 | {13} | 13 |
| 5 | {2,5} | 10 |
| 6 | {2,13} | 26 |
| 7 | {5,13} | sesenta y cinco |
| 8 | {2,5,13} | 130 |
Entonces, los factores de 130 son: 1, 2, 5, 13, 10, 26, 65 y 130. ¡Y esto se encontró usando la notación de conjuntos de potencias!
Reconocimiento de conjuntos de poder
Es posible que no haya notado la interesante relación entre el número de elementos en el conjunto original y el número de subconjuntos en su conjunto de potencia. La relación se puede definir con la fórmula | P ( S ) | = 2 ^ n , donde n es el número de elementos en S .
Un conjunto con 3 elementos tiene 2 ^ 3 u 8 subconjuntos en su conjunto de potencia. Un conjunto con 5 elementos tiene 2 ^ 5 (o 32) subconjuntos en su conjunto de potencia. Y un conjunto con 10 elementos terminaría teniendo 1.024 subconjuntos.
Entonces, ¿cómo puede reconocer un conjunto de energía cuando lo ve? Fácil; cuente los elementos del conjunto original y cuente el número de subconjuntos en el conjunto de potencias; si el número de subconjuntos se ajusta a la fórmula, lo más probable es que sea un conjunto de potencias real. Si necesita estar seguro de que se trata de un verdadero conjunto de potencia, deberá comprobar cada subconjunto para asegurarse de que el conjunto de potencia incluye todas las combinaciones posibles de los elementos del conjunto original.
Aquí hay un ejemplo interesante para usted: ¿Es P ( S ) = {{1 } un verdadero conjunto de potencia para el conjunto {1}?
Dijiste que no Yo espero que sí. Un verdadero conjunto de poderes debe contener un subconjunto vacío. Entonces, P ( S ) = {{}, {1}} es la potencia real establecida para S = {1}
Aquí hay otro ejemplo: ¿Cuál de estas es la potencia establecida para S = {1, 3, 5, 7}?
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¿Elegiste el cuadrado inferior derecho? Bien por usted.
Dado que hay cuatro elementos en el conjunto original, sabemos que debería haber 2 ^ 4, o 16, subconjuntos en el conjunto de potencias. Las dos mejores opciones no tenían 16 subconjuntos, por lo que están disponibles de inmediato.
La parte inferior izquierda tiene suficientes subconjuntos, pero cuando los revisa, encuentra que algunos de los subconjuntos se repiten, lo que significa que se han omitido algunas combinaciones posibles de los elementos.
Eso deja el cuadrado inferior derecho. Tiene el número correcto de subconjuntos y una revisión de cada subconjunto muestra que se han incluido todas las combinaciones. Es el verdadero set de potencia de nuestro set original.
Resumen de la lección
En esta lección, aprendió que un conjunto es una colección de elementos y un conjunto de potencia es una colección de todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado.
Los conjuntos de potencia se pueden reconocer confirmando que todos los posibles subconjuntos de un conjunto están incluidos en el conjunto de potencia más grande. Usando la fórmula | P ( S ) | = 2 ^ n , puede determinar el número total de subconjuntos necesarios en el conjunto de potencia para cualquier conjunto dado.
En nuestro ejemplo de helado, vimos que estábamos trabajando con 3 sabores (fresa, chocolate y vainilla). Eso indicaría 2 ^ 3 = 8 posibles combinaciones o subconjuntos en nuestro conjunto de potencias.
Para reconocer un verdadero conjunto de potencias, primero cuente el número de subconjuntos y luego verifique cada combinación de elementos en el conjunto original.
Para una práctica práctica y sabrosa con juegos de poder, ¿por qué no recrea el ejemplo del juego de poder de helado en casa? Disfruta y gracias por mirar.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:
- Definir y dar ejemplos de un conjunto, un conjunto de potencias y un subconjunto.
- Escribe un conjunto en forma visual
- Calcular el número de subconjuntos que existen en un conjunto de potencia
- Utilizar una técnica para reconocer conjuntos de potencias
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