Relaciones cuadráticas e inversas

Relaciones entre variables

Cuando trabajas en un laboratorio de física para una clase, a menudo te encontrarás haciendo gráficos de un par de variables. Usted mismo cambia una de las variables y realiza un seguimiento del cambio correspondiente en la otra. Por ejemplo, podría tener la tarea de colocar un recipiente sellado lleno de gas en una olla de agua y medir el cambio de presión del gas a medida que se calienta el agua. Aquí, la temperatura del agua es la variable que está cambiando y la presión del gas es la segunda variable que está rastreando. Cuando haces un gráfico de presión versus temperatura, estás explorando la relación entre estas dos variables.

En un curso de introducción a la física, hay cuatro relaciones comunes diferentes entre las variables con las que seguramente se encontrará: son relaciones lineales, directas, cuadráticas e inversas. Aquí, repasaremos las relaciones cuadráticas e inversas, y un par de ejemplos de lugares en los que aparecen en un curso de física.

Relaciones cuadráticas

Una relación cuadrática es una relación matemática entre dos variables que sigue la forma de una ecuación cuadrática. En pocas palabras, la ecuación que contiene nuestras dos variables se parece a lo siguiente:

Aquí, y y x son nuestras variables, y a , b y c son constantes. Si no tuvieras esta ecuación y solo tuvieras algunos puntos de datos para un gráfico, podrías decir que es una relación cuadrática si la curva del gráfico forma una parábola , que en un gráfico se ve como una depresión o un valle. Incluso si tenemos una ecuación como esta, donde b y c ambos iguales a cero, se sigue considerando cuadrática. Si eso sucede, obtenemos la forma más simple de una relación cuadrática:

Esto funciona porque resulta que es el componente x cuadrado el que es absolutamente necesario para que una relación sea cuadrática. Así, a diferencia de b y c , una necesidad nunca es igual a cero, ya que eliminará la x al cuadrado de la fórmula desde cero multiplicado por cualquier cosa es cero.

Uno de los primeros lugares donde encontrará una relación cuadrática en física es con el movimiento de proyectiles . Esto tiene sentido si piensa en cómo un proyectil viaja por el aire a lo largo del tiempo. Imagina que estás lanzando una pelota de béisbol al aire. Intentemos visualizar esto con un gráfico de altura frente a tiempo. Con el tiempo, la pelota sube a una altura máxima y luego vuelve a bajar a la altura inicial cuando la atrapas.

Una parábola es una buena indicación de una relación cuadrática

Podemos ver que nuestro gráfico crea una parábola invertida, que es el tipo de cosa que se puede esperar de una relación cuadrática. Para estar absolutamente seguros de que la relación entre la altura y el tiempo es cuadrática, también veremos la ecuación vertical para el movimiento del proyectil que se ocupa de la posición y el tiempo:

¿Te suena familiar? Intentemos reorganizar un poco la ecuación:

Es posible que aún no sepa esto, pero en esta ecuación las únicas dos variables son la altura ( y ) y el tiempo ( t ). Todo lo demás es constante en el transcurso de un solo lanzamiento. Entonces, la ecuación que estamos viendo aquí está realmente en la forma exacta de una ecuación cuadrática:

Relaciones inversas

Quizás recuerde que en una relación directa, a medida que una variable aumenta, la otra aumenta, o cuando una disminuye, la otra disminuye. En una relación inversa , en lugar de que las dos variables se muevan en la misma dirección, se mueven en direcciones opuestas, es decir, a medida que una variable aumenta, la otra disminuye.

A menudo, en un curso de física, el tipo de relación inversa con la que te encontrarás es una relación inversamente proporcional. Para relaciones inversamente proporcionales , especificamos que a medida que una variable aumenta, la otra disminuye al mismo ritmo.

Una relación inversa crea una hipérbola cuando se grafica

Cuando graficamos una relación inversamente proporcional, vemos que la gráfica forma una hipérbola , que se parece aproximadamente a dos parábolas enfrentadas una con otra en una gráfica. Debido a la forma en que se forma una hipérbola, no es muy común ver solo la mitad al graficar puntos de datos, como cuando solo tiene números positivos en su conjunto de datos. Una relación inversamente proporcional se puede representar mediante la siguiente ecuación, donde k es una constante:

Podemos ver un ejemplo de proporcionalidad inversa en física con la ley de Boyle. Robert Boyle investigó el comportamiento del gas cuando se mantiene a una temperatura constante. Descubrió que si cambia la presión de un gas a una temperatura constante, el volumen cambiará para mantener constante el producto entre los dos. En otras palabras:

Esta fórmula también se puede escribir con presión y volumen en lados opuestos del signo igual, lo que nos da una ecuación inversamente proporcional:

De hecho, la definición de la ley de Boyle establece que a temperatura constante el volumen y la presión de un gas son inversamente proporcionales entre sí.

Resumen de la lección

En un laboratorio de física, a menudo se le asignará la tarea de explorar la relación entre dos variables haciendo gráficos. Dos de los tipos más comunes de relaciones con las que se encontrará son las relaciones cuadráticas e inversas. Una relación cuadrática es una relación matemática entre dos variables que sigue la forma de una ecuación cuadrática:

Aquí, y y x son las variables que estamos explorando la relación entre, y un , b , y c son constantes. Está bien para los b y c constantes a igual a cero, pero una nunca debe ser igual a cero en una relación cuadrática. Si un igual a cero, perderíamos la parte x al cuadrado de la fórmula, que es necesaria para que la relación siga siendo cuadrática. Este medio de una ecuación de la forma siguiente muestra una relación cuadrática a pesar de que le falta los b y c partes:

Si no tiene una ecuación para mirar, podrá decir que tiene una relación cuadrática si la curva de la gráfica forma una parábola , que en una gráfica se ve como una depresión o un valle. En una relación inversa a medida que una variable aumenta, la otra disminuye. A menudo se encontrará con un tipo especial de relación inversa llamada relación inversamente proporcional.

Para que dos variables se consideren inversamente proporcionales a medida que una variable aumenta, la otra debe disminuir al mismo ritmo. En una relación inversamente proporcional, vemos que el gráfico forma una hipérbola , que se parece aproximadamente a dos parábolas enfrentadas una con otra en un gráfico. Finalmente, una ecuación inversamente proporcional tomará la siguiente forma:

Los resultados del aprendizaje

Esta lección sobre relaciones cuadráticas e inversas está diseñada para ayudarlo a:

• Escribe y explica las ecuaciones para relaciones cuadráticas e inversas.
• Identificar la gráfica para una relación cuadrática o inversa.