Graficar la función tangente
A todos los niños les encantan los juguetes. A algunos les gustan las muñecas. A algunos les gustan las figuras de acción. A algunos les gustan los personajes de dibujos animados. A algunos niños les gusta jugar con uno de cada uno al mismo tiempo. Cuando era joven, me gustaba modelar arcilla. Podría tomar plastilina y hacer cualquier cosa. Podría hacer una estatuilla, un monstruo o un animal. La mayoría de las veces, comenzaría con la misma forma. Haría un cuerpo, cabeza, brazos y piernas. Luego, si quisiera que fuera más grande, podría estirar cada parte. Si quisiera que fuera más pequeño, podría apretarlos. Si lo quisiera más ancho o más estrecho, podría ajustarme. Si quisiera que estuviera al revés, también podría hacerlo. Básicamente, todo lo que tenía que hacer era poder hacer la misma forma básica y luego ajustarla como quería.
Cuando miramos la gráfica de funciones trigonométricas, funciona de la misma manera. El gráfico de cada función se ve y se comporta de una manera específica. Pero hay pequeños cambios que puede hacer para ampliar, cambiar y reflejar cada gráfico. Si aprendemos el gráfico de tangente básico y comprendemos la fórmula, podemos aprender fácilmente cómo hacer cambios que lo moverán hacia arriba, abajo, izquierda, derecha, estirarlo, desplazarlo y reflejarlo.
Tangente en el gráfico
La función tangente se ve así:
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La fórmula de esta gráfica es simplemente y = tan (x) . En el eje y , tenemos la recta numérica tradicional con números positivos y números negativos. En el eje x , tenemos las medidas de los ángulos en radianes. Hay algunos valores de x que queremos resaltar. Primero es cero y está justo en el medio. Mientras miramos el lado positivo del eje x , veamos pi / 4 , aproximadamente 0,79. Veamos también pi / 2 , aproximadamente 1,57.
Estos puntos también están en el lado negativo del eje x , en -pi / 4 y -pi / 2 .
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Cuando nos movemos a lo largo del eje x , observe lo que sucede con el valor y . En el lado izquierdo del cero, la tangente es negativa. En x = -pi / 4 , tangente = -1 . En x = 0 , tangente = 0 . Este es el origen y el centro del gráfico. Cuando x se vuelve positivo, la tangente es positiva. En x = pi / 4 , tangente = 1 . Si notará a la izquierda y a la derecha del gráfico anterior, en realidad hay dos valores en los que el gráfico de tangente se vuelve más empinado pero nunca se toca. A esto lo llamamos indefinido .
Esto significa que no existe un valor real para la tangente. Estos puntos indefinidos en el gráfico están en los números -pi / 2 y pi / 2 . Solo para asegurarse, si tuviera que escribirlos en su calculadora, verá que dice ERROR . Como puede ver, la función tangente siempre se está acercando más y más a estos valores, pero en realidad nunca llega allí. Este es el formato básico del gráfico de tangente. Lo último que debe recordar es que la tangente no se detiene aquí.
En realidad, repite exactamente esta misma forma una y otra vez a la derecha y a la izquierda. Este patrón repetido es la gráfica de y = tan (x) :
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Explicando las transformaciones
Ahora que entendemos la forma básica del gráfico y algunos puntos clave, veamos formas de cambiarlo.
El término adecuado para esto es que queremos hacer transformaciones en el gráfico original. Primero, centrémonos en la fórmula. Verá que la fórmula del gráfico básico es simple: y = tan (x) . Es solo una función básica.
Tipos de Cambio Flotante: Qué es, Características y Ejemplos
Hay cuatro formas en que podemos cambiar esta gráfica, las mostramos como A, B, C y D. Estos son números que se pueden multiplicar o agregar a la función original y hacer cambios específicos.
y = A tan (Bx + C) + D
Si ponemos un número para A, cambia de amplitud . Debido a que la tangente no tiene un valor máximo o mínimo absoluto, la amplitud determina qué tan empinada o superficial es la gráfica.
B determina el período o qué tan ancho o estrecho es el gráfico.
C determina el cambio de fase o cómo se desplaza el gráfico de izquierda a derecha.
D determina el desplazamiento vertical o cómo se desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo.
Aquí está la información para el gráfico básico:
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La función básica tiene una amplitud de uno. Tiene un período de pi. No tiene cambios de fase ni verticales, porque está centrado en el origen. Hay un pequeño truco para recordar sobre A, B, C y D. Ese truco es que todo lo que está fuera del paréntesis afecta las coordenadas y, y haces exactamente lo que dice cada uno. Todas las cosas entre paréntesis afectan las coordenadas x de la función y hacen lo contrario de lo que dicen. Echemos un vistazo a un ejemplo.
Transformaciones en el gráfico
Si miramos la fórmula y = -2tan (4x – pi) +1 , ¿qué transformaciones tuvieron lugar? Hagamos primero las transformaciones fuera del paréntesis. Todo lo que esté fuera del paréntesis va a cambiar la forma en que miramos las coordenadas y de todos los puntos. Afecta solo a la parte vertical del gráfico.
Vemos que A = -2 . El gráfico no solo se volvió dos veces más empinado, sino que también es negativo. Esto significa que en lugar de comenzar en negativo a la izquierda y aumentar a medida que avanza hacia la derecha, es lo opuesto. Comienza alto a la izquierda y sigue disminuyendo a medida que nos movemos hacia la derecha. A esto lo llamamos una reflexión.
También podemos ver en la fórmula que D = 1 . D es un desplazamiento vertical y, dado que sumamos uno, esto significa que el gráfico se desplaza una unidad hacia arriba.
Ahora, echemos un vistazo a los factores entre paréntesis. Los números entre paréntesis afectan las coordenadas x del gráfico o el aspecto horizontal del gráfico. Recuerde, estos hacen lo contrario de lo que piensa. B = 4 . B representa cómo cambia el período para el gráfico. Dado que esto se multiplica por un cuatro positivo, recordamos hacer lo contrario. En realidad, esto hace que el período sea más pequeño, o podemos decir que el período es pi / 4 .
Observe cómo hicimos lo contrario. Ahora, echemos un vistazo a C. C = pi , pero observe que se resta. Dado que C controla el cambio de fase (desplazamiento a la izquierda o derecha), queremos hacer lo contrario. Eso significa que desplazamos todo el gráfico a la derecha en unidades pi.
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A veces, verá las cuatro transformaciones. A veces, solo verá algunos. Pero saber cómo cambiar la amplitud, el período, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical le ayudará a comprender cómo convertir las funciones tangentes en gráficos y viceversa.
Revisión de la lección
Echemos un vistazo a las cuatro formas en que podemos transformar una función tangente y una gráfica. A cambia la amplitud o la inclinación del gráfico a lo largo del eje y . B cambia el período o qué tan ancho es un patrón del gráfico. C cambia el desplazamiento de fase o cómo se desplaza el gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha. D controla el desplazamiento vertical, o cómo se desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo.
Todo lo que esté fuera del paréntesis afecta a la parte vertical del gráfico y hacemos lo que dicen. Si se multiplica por dos, es dos veces más empinado. Si se resta tres, bajamos tres. Todo lo que está dentro de los paréntesis afecta la parte horizontal del gráfico y hacemos lo contrario de los comandos. Si x se divide por dos, la gráfica se ensancha en un factor de dos. Si C = pi / 2 , aunque sea positivo, hacemos lo contrario. Esto significa que nos desplazamos hacia la izquierda en pi / 2 unidades.
Si los tiene abajo, puede detectar un gráfico de tangente en poco tiempo. O puede comenzar con el mismo gráfico tangente básico cada vez y hacer las transformaciones necesarias para que sea lo que desea. Independientemente, al igual que jugar con plastilina, siempre puede comenzar con la forma básica y hacer los estiramientos y cambios para que se vea como desea.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, debería poder:
- Identificar la función tangente en una gráfica
- Describir las transformaciones de una función tangente, identificando cada una por su gráfica y fórmula.
- Hacer transformaciones en una gráfica a partir de una fórmula tangente
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