Resolver representaciones matemáticas de diagramas de cuerpo libre

Del diagrama de cuerpo libre a la solución

Dibujar un diagrama de cuerpo libre es el primer paso para determinar la aceleración de una masa usando la segunda ley de Newton: Σ F = ma . A veces, un problema le proporcionará el diagrama de cuerpo libre, y su trabajo es escribir las expresiones matemáticas, incluidas las fuerzas del diagrama para resolver la aceleración.

Lo primero que hay que considerar antes de escribir expresiones matemáticas a partir de un diagrama de cuerpo libre es ¿cuántas dimensiones están involucradas? Cada eje debe tener su propia expresión matemática porque la fuerza es un vector. Los vectores tienen una dirección específica asociada a ellos, y solo se pueden sumar direcciones similares.

Comencemos con un ejemplo donde se proporciona el diagrama de cuerpo libre (FBD) y tenemos que convertir la información del diagrama en una expresión matemática.

Ejemplo 1

Mensaje: Utilice el FBD para determinar dos expresiones matemáticas para a , una en la dirección xy otra en la dirección y. Luego, describe cómo usar las aceleraciones xey para obtener la aceleración general (neta).

FUP 1

Solución: En nuestro ejemplo solo hay 2 ejes, por lo tanto, 2 dimensiones.

Cualquier fuerza que no sea paralela a una dirección pura (paralela al eje x, eje y o eje z) debe multiplicarse por una función trigonométrica de su ángulo relacionado. Esto obtendrá la magnitud de la fuerza en las direcciones puras, xey. Ahora estamos listos para convertir FBD 1 en una expresión matemática.

Ahora podemos determinar las aceleraciones xey. Usemos álgebra para resolver cada expresión para las aceleraciones.

Para obtener la aceleración neta tenemos que establecer un triángulo rectángulo y usar el teorema de Pitágoras. Dado que este ejemplo no incluye números, digamos que su aceleración x es positiva y su aceleración y es negativa.

Las aceleraciones xey son perpendiculares entre sí.

Ahora, hagamos un ejemplo en el que usamos números para determinar una aceleración.

Ejemplo 2

Mensaje: Use el DCL para determinar la aceleración de la masa de 5 kg.

FUP 2

Solución: Primero dividimos los vectores en las direcciones respectivas y luego resolvemos la aceleración en cada dirección, usando 5 kg por m .

La masa se acelera en la dirección y positiva a 1 m / s 2 .

La física requiere mucha práctica, así que haremos otro ejemplo.

Ejemplo 3

Aviso: El DCL que se muestra es para una masa de 10 kg que se desliza por una rampa (θ = 30 o ) y la fricción actúa sobre la masa. La fuerza de fricción es igual a μ = 0.4 veces la fuerza normal y la fuerza normal es mgcosθ. Determina la aceleración de la masa.

FUP 3

• f es la fuerza de fricción
• N es la fuerza normal
• M es la masa
• g es la aceleración debida a la gravedad (9,8 m / s 2 )

Solución: observe que el sistema de coordenadas xy está inclinado. Esto se hace comúnmente cuando una masa se desliza a lo largo de una superficie inclinada. El propósito es conseguir tantas fuerzas en el escenario paralelas a los ejes xey como sea posible. Nos permite determinar un número mínimo de fuerzas componentes. La fuerza normal está en la dirección de + y, y la fuerza de fricción está en la dirección -x. El peso de la masa es la única fuerza que no es paralela a un eje. Si no inclinamos los ejes, tendríamos tanto la fuerza normal como la fuerza de fricción que tendrían que dividirse en fuerzas componentes como hicimos en el Ejemplo 1.

Observe cómo sustituimos μ N por la fuerza de fricción (f), y luego sustituimos Mgcosθ por la fuerza normal. Aunque cada eje debe tratarse de forma independiente, a veces hay variables comunes a ambos sentidos y se requiere sustitución.

Resumen de la lección

Los diagramas de cuerpo libre son formas visuales de representar las fuerzas que actúan sobre una masa. Estos diagramas son útiles para resolver cualquier variable en el escenario, incluida la aceleración, a . La segunda ley de Newton es ΣF = ma, y ​​Σ significa que tenemos que sumar todas las fuerzas sobre la masa, pero como la fuerza es un vector, cada dirección debe tratarse de forma independiente. Un vector es una entidad que tiene una magnitud y una dirección, por lo que solo se pueden sumar las fuerzas en la misma línea.

Para cada eje de coordenadas donde actúan fuerzas, se debe utilizar una ecuación Σ F = ma. Por ejemplo, si hay fuerzas que actúan en las direcciones xey, se deben usar dos ecuaciones Σ F = ma; uno para cada dirección.

Las fuerzas en cada dirección se conectan al lado izquierdo de la segunda ley de Newton y se fijan igual a la masa multiplicada por la aceleración (ma) en cada dirección respectiva. Luego, el álgebra se puede usar para resolver la aceleración en cada dirección. Si hay una aceleración en cada dirección, el teorema de Pitágoras se puede utilizar para determinar la aceleración neta.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador