Secuencias aritméticas: definición y búsqueda de la diferencia común

Publicado el 2 noviembre, 2020

¿Qué es una secuencia aritmética?

¿Qué es una secuencia aritmética ? Es una cadena de números donde cada número es el número anterior más una constante, llamada diferencia común. Piense en una secuencia aritmética como si estuviera organizando una fiesta de dulces donde cada persona que viene debe traer dos barras de chocolate. Ya estás ahí con dos barras de chocolate. La próxima persona que viene trae dos barras de chocolate más. Ahora tienes cuatro barras de chocolate. La próxima persona que viene trae dos barras de chocolate más. Ahora su total es seis barras de chocolate. Puede ver que se forma un patrón aquí, y probablemente pueda continuar con este patrón por su cuenta.

Ejemplos de secuencia

El ejemplo de la barra de chocolate te da la secuencia de 2, 4, 6. Podemos terminar ahí si solo dos invitados vinieron a la fiesta. Pero también podríamos continuar el patrón indefinidamente si quisiéramos. Podemos continuar agregando 2 a 6 para obtener 8, luego agregando 2 a 8 para obtener 10. Obtendríamos 2, 4, 6, 8, 10,. . . etc.

Otros ejemplos de secuencias aritméticas incluyen:

1, 2, 3, 4,. . . etc.

2, 5, 8, 11,. . . etc.

3, 5, 7, 9,. . . Etcétera

Observe cómo todas estas secuencias tienen números donde cada número es el número anterior más una constante, una diferencia común.

Encontrar la diferencia común

Podemos calcular la diferencia común para cada una de nuestras secuencias tomando dos números que estén uno al lado del otro y luego restando el primero del segundo. Podemos repetir con otro par de números para asegurarnos de que la diferencia sea la misma. Entonces, para nuestra primera secuencia de 1, 2, 3, 4,. . ., podemos restar el 1 del 2 para obtener 2 – 1 = 1. También podemos restar el 2 del 3 para obtener 3 – 2 = 1. ¡Mira eso! La diferencia común es la misma, ¡justo lo que esperaríamos! Si repitiéramos este proceso con el 3 y el 4, veríamos que también tiene una diferencia de 1, por lo que esta secuencia aritmética tiene una diferencia común de 1.

La segunda secuencia, 2, 5, 8, 11,. . ., tiene una diferencia común de 3 porque cuando restamos el 2 del 5, obtenemos 3. También obtenemos 3 cuando restamos el 5 del 8 y el 8 del 11.

¿Puedes encontrar la diferencia común para la tercera secuencia, 3, 5, 7, 9, etc.? . .? Si restamos el 3 del 5 y el 5 del 7, obtenemos 2. 7 restado de 9 también es 2. Entonces, la diferencia común para esta secuencia es 2.

La formula

Debido a que tenemos una diferencia común entre todos los números en nuestra secuencia aritmética, podemos usar esta información para crear una fórmula que nos permita encontrar cualquier número en nuestra secuencia, ya sea el número 10 o el número 50. Si lo piensas bien, cada número en una secuencia aritmética es en realidad el primer número más la diferencia común multiplicada por la cantidad de veces que necesitamos sumarlo. Mira, para llegar al segundo término, agregamos la diferencia común una vez al primer término:


La diferencia común debe agregarse una vez al primer término para llegar al segundo término.
números para encontrar la diferencia común

Para llegar al tercer término, necesitamos sumar la diferencia común dos veces. Una vez para pasar del primer término al segundo, y luego una vez más para pasar del segundo al tercer término. Si etiquetamos a como nuestro primer término y d como nuestra diferencia común, nuestra secuencia aritmética se vería como a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , y así sucesivamente. Si n representa la ubicación de un número en esta secuencia, entonces la fórmula para encontrar cualquier número en nuestra secuencia es:


Fórmula de secuencia aritmética
fórmula de secuencia aritmética

Volvamos a nuestro ejemplo de barra de chocolate para ver si esta fórmula realmente funciona. Nuestra secuencia para las barras de chocolate comienza con 2, 4, 6, 8, y así sucesivamente. Revisemos para ver si la fórmula nos da el término correcto para el cuarto término. Ya sabemos que es 8. Así que veamos si la fórmula nos da 8 como respuesta. Reemplazamos 4 por n ya que estamos buscando el cuarto término, 2 por a ya que nuestra secuencia comienza con a 2 y 2 por d ya que 2 es nuestra diferencia común.

Conectando todo esto y despejando x , obtenemos 2 + 2 (4 – 1) = 2 + 2 (3) = 2 + 6 = 8. ¡Oye, mira eso! ¡Obtenemos 8! ¡La fórmula funciona! Entonces, si quisiéramos saber cuántas barras de chocolate obtendríamos si tuviéramos 50 personas en la fiesta, podemos usar esta fórmula para que n sea 50. Nuestra a sigue siendo 2 y nuestra d también sigue siendo 2. Conectando nuestro nuevo n , tenemos 2 + 2 (50 – 1) = 2 + 2 (49) = 2 + 98 = 100. ¡Tendremos 100 barras de chocolate! ¡Increíble!

Resumen de la lección

Ahora que hemos terminado y tenemos un montón de barras de caramelo imaginarias, repasemos. Una secuencia aritmética es una cadena de números donde cada número es el número anterior más una constante, llamada diferencia común. Para encontrar la diferencia común, tomamos cualquier par de números sucesivos y restamos el primero del segundo. Deberíamos obtener esta misma diferencia común para cualquier otro par de números sucesivos en nuestra secuencia. La fórmula para encontrar cualquier número en nuestra secuencia es x sub n es igual a un plus d veces n menos 1, donde n representa la ubicación del número en nuestra secuencia, una es el primer número de nuestra secuencia, y d es nuestra diferencia común.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

  • Definir secuencia aritmética y diferencia común
  • Detectar secuencias aritméticas
  • Describe cómo encontrar la diferencia común.
  • Recuerda la fórmula para encontrar cualquier número en una secuencia aritmética.

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