Definición
En cálculo, una tangente es la línea de la pendiente de la curva en un punto particular. Es la línea que toca la curva en cualquier punto particular que va en la misma dirección que la curva en ese punto. En otras palabras, si la curva deja de seguir la función en ese punto y sigue recta, esa sería la línea tangente.
Así es como se ve una línea tangente cuando se dibuja en un gráfico de una curva.
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La tangente simplemente toca la curva en un punto y da la pendiente de la curva en ese punto.
Propiedades
Las tangentes tienen varias propiedades de interés. Acabamos de mencionarlos en la sección de definiciones.
1. Las tangentes se aproximan a la curva en un punto. Dan la mejor aproximación en ese punto mostrándole la pendiente de la curva en ese punto.
2. La tangente apenas toca la curva en un punto.
3. Para que un punto de una curva tenga una tangente, debe ser diferenciable en ese punto. Si no es diferenciable en ese punto, no tiene pendiente definida y, por lo tanto, no tiene tangente definida, ya que la tangente está dada por la pendiente en ese punto.
La formula
Debido a que la tangente es la línea de la pendiente de una curva en cualquier punto dado, la fórmula de la tangente involucra la derivada de la curva . La derivada de la curva le da el cambio de la curva en cualquier punto dado que es la pendiente. Entonces, evaluar la derivada en un punto dado le dará la pendiente que puede usar para encontrar la recta tangente.
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La línea tangente se encuentra usando la forma punto-pendiente de una línea y reemplazando un punto dado junto con la derivada evaluada en ese punto. Luego, la ecuación se resuelve para y para encontrar la ecuación.
Calcular la tangente
Veamos ahora cómo funciona la fórmula para una función. Trabajaremos en la siguiente función para ver cómo podemos encontrar nuestra línea tangente.
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Queremos evaluarlo en el punto donde x = 1. Para averiguar el punto exacto, podemos conectar nuestra x para encontrar nuestra y . Nuestra expresión f (x) es la misma que y . Podemos intercambiarlos a voluntad.
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Nuestra y es 1, entonces nuestro punto es (1, 1).
Según nuestra fórmula, tenemos nuestro punto y ahora necesitamos nuestra derivada. Tomaremos la derivada de nuestra función ahora y seguiremos cualquier propiedad derivada que conozcamos.
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Hemos utilizado la regla de la potencia de las derivadas para encontrar nuestra derivada. Ahora necesitamos evaluar nuestra derivada en el punto donde x = 1. Podemos hacer eso conectando nuestra x en la derivada para encontrar nuestra pendiente.
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Nuestra pendiente es 3. Ahora podemos introducir todos nuestros valores en la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta y resolver para y para obtener nuestra ecuación de recta tangente.
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Hemos respondido la pregunta. Nuestra recta tangente a la curva f (x) = x ^ 3 en el punto donde x = 1 es y = 3x-2 .
Resumen
Para resumir, la tangente de una curva es la ecuación de la línea con la pendiente de la curva en ese punto. La fórmula para encontrar la línea tangente de una curva en un punto dado es la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con la derivada evaluada en el punto como la pendiente.
Temas y explicaciones de tangentes
| Temas | Explicaciones |
|---|---|
| Tangente | la línea de la pendiente de la curva en un punto particular; la línea que toca la curva en cualquier punto particular que va en la misma dirección que la curva en ese punto |
| Propiedades | las tangentes se aproximan a la curva en un punto y apenas tocan la curva en un punto; para que un punto de una curva tenga una tangente, debe ser diferenciable en ese punto |
| Fórmula | la línea tangente se encuentra usando la forma punto-pendiente de una línea y reemplazando un punto dado junto con la derivada evaluada en ese punto |
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya terminado aquí, debería poder lograr lo siguiente:
- Definir tangente
- Identificar las propiedades de una tangente
- Explica la fórmula para resolver una tangente.
- Dar ejemplos de cálculo de tangentes
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