Teorema de Escalamiento de Impedancias y Frecuencia: Fundamentos y Ejemplos

Introducción al Teorema de Escalamiento de Impedancias y Frecuencia

El teorema de escalamiento de impedancias y frecuencia es una herramienta fundamental en el análisis y diseño de circuitos eléctricos y electrónicos, especialmente en aplicaciones de filtros, redes de adaptación y sistemas de comunicaciones. Este teorema permite ajustar los valores de los componentes de un circuito (resistencias, inductancias y capacitancias) para modificar su respuesta en frecuencia sin alterar su comportamiento relativo. El escalamiento es útil cuando se requiere adaptar un circuito teórico a valores prácticos de componentes o cuando se necesita cambiar su frecuencia de operación.

El principio básico del escalamiento implica multiplicar las impedancias por un factor de escalamiento de impedancia ({eq}( k_Z ){/eq}) y ajustar las frecuencias mediante un factor de escalamiento de frecuencia ({eq}( k_f ){/eq}). Estos factores permiten transformar un circuito prototipo en uno con valores realistas o con una respuesta en frecuencia desplazada. Por ejemplo, si un filtro está diseñado para operar a 1 kHz pero se necesita que funcione a 10 kHz, el escalamiento de frecuencia permite reajustar los valores de los componentes sin modificar la forma de la respuesta del filtro.

Además, el escalamiento de impedancias es útil para adaptar circuitos a diferentes niveles de potencia o para hacer coincidir impedancias en sistemas de transmisión. Sin esta técnica, el diseño de circuitos sería mucho más complejo, ya que requeriría recalcular manualmente todos los componentes cada vez que se modifique la frecuencia o la impedancia de referencia. En las siguientes secciones, exploraremos en detalle los fundamentos matemáticos, los tipos de escalamiento y ejemplos prácticos de aplicación.

Fundamentos Matemáticos del Escalamiento de Impedancias y Frecuencia

Para comprender el escalamiento de impedancias y frecuencia, es necesario analizar cómo afectan los factores ( {eq}k_Z{/eq} ) (escalamiento de impedancia) y ( {eq}k_f{/eq} ) (escalamiento de frecuencia) a los componentes de un circuito. En un circuito eléctrico, los elementos pasivos (resistencias, inductores y capacitores) tienen comportamientos que dependen de la frecuencia, especialmente en aplicaciones de CA (corriente alterna).

El escalamiento de impedancia se aplica multiplicando todas las resistencias e inductancias por ( {eq}k_Z{/eq} ), mientras que las capacitancias se dividen por ( {eq}k_Z{/eq} ). Matemáticamente, esto se expresa como:

• Resistencia escalada: ( {eq}R’ = R \times k_Z{/eq} )
• Inductancia escalada: ( {eq}L’ = L \times k_Z{/eq} )
• Capacitancia escalada: ( {eq}C’ = \frac{C}{k_Z}{/eq} )

Por otro lado, el escalamiento de frecuencia ajusta las reactancias inductivas y capacitivas para cambiar la frecuencia de operación del circuito. Las fórmulas correspondientes son:

• Inductancia escalada en frecuencia: ( {eq}L” = \frac{L’}{k_f}{/eq} )
• Capacitancia escalada en frecuencia: ( {eq}C” = \frac{C’}{k_f}{/eq} )

Al combinar ambos escalamientos, las ecuaciones resultantes para los componentes del circuito son:

• Resistencia final: ( {eq}R” = R \times k_Z{/eq} )
• Inductancia final: ( {eq}L” = \frac{L \times k_Z}{k_f}{/eq} )
• Capacitancia final: ( {eq}C” = \frac{C}{k_Z \times k_f}{/eq} )

Estas transformaciones permiten ajustar un circuito prototipo (normalizado) a valores reales de componentes y frecuencias de operación específicas. En la siguiente sección, veremos ejemplos prácticos de cómo aplicar estos conceptos en el diseño de filtros y redes de adaptación.

Ejemplo 1: Escalamiento de un Filtro Pasa-Bajas

Supongamos que tenemos un filtro pasa-bajas normalizado con una frecuencia de corte de 1 rad/s (aproximadamente 0.159 Hz) y componentes ( {eq}R = 1 \, \Omega{/eq} ), ( {eq}L = 1 \, H{/eq} ) y ( {eq}C = 1 \, F{/eq} ). Queremos escalar este filtro para que opere a una frecuencia de corte de 10 kHz y con una impedancia característica de 50 Ω.

Paso 1: Escalamiento de Impedancia ({eq}( k_Z ){/eq})
Dado que la impedancia deseada es 50 Ω y la original es 1 Ω, el factor de escalamiento de impedancia es:
[ {eq}k_Z = \frac{R_{deseada}}{R_{original}} = \frac{50 \, \Omega}{1 \, \Omega} = 50{/eq} ]

Aplicando esto a los componentes:

• ( {eq}R’ = 1 \times 50 = 50 \, \Omega{/eq} )
• ( {eq}L’ = 1 \times 50 = 50 \, H{/eq} )
• ( {eq}C’ = \frac{1}{50} = 0.02 \, F{/eq} )

Paso 2: Escalamiento de Frecuencia (( k_f ))
La frecuencia original es 1 rad/s, y la deseada es ( {eq}10 \, kHz = 2\pi \times 10^4 \, rad/s{/eq} ). El factor de escalamiento de frecuencia es:
[ {eq}k_f = \frac{\omega_{deseada}}{\omega_{original}} = \frac{2\pi \times 10^4}{1} = 2\pi \times 10^4{/eq} ]

Aplicando esto a los componentes ya escalados en impedancia:

• ( {eq}L” = \frac{50}{2\pi \times 10^4} \approx 0.796 \, mH{/eq} )
• ( {eq}C” = \frac{0.02}{2\pi \times 10^4} \approx 318 \, nF{/eq} )

El resistor no cambia con la frecuencia, por lo que sigue siendo ( {eq}R” = 50 \, \Omega{/eq} ).

Resultado Final:
El filtro escalado tiene:

• ( {eq}R = 50 \, \Omega{/eq} )
• ( {eq}L \approx 0.796 \, mH{/eq} )
• ( {eq}C \approx 318 \, nF{/eq} )

Este filtro ahora tendrá una frecuencia de corte de 10 kHz y estará adaptado a una impedancia de 50 Ω, lo que lo hace útil en aplicaciones de radiofrecuencia (RF).

Ejemplo 2: Adaptación de Impedancia en una Red de Antena

Otro caso común es el escalamiento de impedancias en redes de adaptación para antenas. Supongamos que tenemos un circuito de adaptación LC con ( {eq}L = 0.5 \, H ), ( C = 2 \, F ) y ( R = 10 \, \Omega{/eq} ), diseñado para 1 MHz. Queremos adaptarlo a una impedancia de 300 Ω y una frecuencia de 100 MHz.

Paso 1: Escalamiento de Impedancia (( {eq}k_Z{/eq} ))
[ {eq}k_Z = \frac{300 \, \Omega}{10 \, \Omega} = 30{/eq} ]

Componentes escalados:

• ( {eq}R’ = 10 \times 30 = 300 \, \Omega{/eq} )
• ( {eq}L’ = 0.5 \times 30 = 15 \, H{/eq} )
• ( {eq}C’ = \frac{2}{30} \approx 0.0667 \, F{/eq} )

Paso 2: Escalamiento de Frecuencia (( {eq}k_f{/eq} ))
[ {eq}k_f = \frac{100 \, MHz}{1 \, MHz} = 100{/eq} ]

Componentes finales:

• ( {eq}L” = \frac{15}{100} = 0.15 \, H{/eq} )
• ( {eq}C” = \frac{0.0667}{100} \approx 667 \, nF{/eq} )

Resultado Final:
El nuevo circuito tendrá:

• ( {eq}R = 300 \, \Omega{/eq} )
• ( {eq}L = 0.15 \, H{/eq} )
• ( {eq}C \approx 667 \, nF{/eq} )

Este escalamiento permite que el circuito opere eficientemente a la nueva frecuencia e impedancia requerida.

Conclusión

El teorema de escalamiento de impedancias y frecuencia es esencial en el diseño de circuitos, permitiendo ajustar prototipos normalizados a aplicaciones reales. Mediante factores de escalamiento, es posible modificar resistencias, inductancias y capacitancias sin alterar la respuesta relativa del circuito. Los ejemplos presentados muestran su utilidad en filtros y redes de adaptación, facilitando el diseño en diversas frecuencias e impedancias. Dominar esta técnica es crucial para ingenieros y técnicos en electrónica y telecomunicaciones.