Teorema del valor promedio

Teorema del valor medio

Gráfico de velocidad en función del tiempo

Consideremos la gráfica de tu velocidad en función del tiempo. Aquí, tengo tu velocidad entre un tiempo ay un tiempo b . Sé que el área debajo de esta curva será igual a la distancia que he viajado desde el tiempo a hasta el tiempo b . También sé que el área bajo esta curva será la integral de v (t) dt desde t = a hasta t = b .

Digamos que encontré que esa área es de 120 millas. Y mi tiempo total desde a hasta b es de 2 horas. Digamos a = 0 y b = 2. Si he recorrido 120 millas en 2 horas, entonces sabrá que la velocidad promedio fue de 60 mph. Eso es 120 / 2. Una manera en que podríamos escribir esto es matemáticamente diciendo que los iguales promedio de 1 / delta T (que es b – a , mi tiempo total) veces la integral de una a b v (t) dt, que es el área bajo la curva. Entonces mi promedio es el área debajo de la curva dividida por mi ancho aquí. Eso me dará una altura promedio, por así decirlo. Además, como mi velocidad es continua, sé que en algún punto de este gráfico iba exactamente a 60 mph. Esto se debe a que tenía un promedio de 60 mph. A veces iba a más de 60, a veces iba a menos de 60. Pero al menos en un punto de este gráfico, iba exactamente a 60 mph. Tenía que haber ido al promedio.

Definición del teorema del valor medio

Ejemplo

Hagamos un ejemplo. Digamos que y = 9 – x ^ 2 entre 0 y 3. Voy a tomar la integral de 0 a 3 de 9 – x ^ 2. Digamos que puedo encontrar exactamente el área bajo esta curva. Esa área es 18.

Yo sé que mi valor medio de Y va a ser 1 / delta x – que de x en un lado menos x por el otro – veces la integral de una a B , por lo que la integral sobre la región, de f (x) dx . Todo esto es el área dividida por el ancho. Aquí, mi ancho es 3 – porque es 3 – 0, ese es mi ancho en x – y mi área les he dicho que calculé que es 18. Entonces el valor promedio de y a lo largo de toda esta región aquí será 6.

Encontrar el valor promedio de Y

Dibujemos eso. Es importante notar que con este valor promedio, puedo trazar una línea en, digamos, y = 6, así que directamente, ese es el promedio y para esta región. Entonces, si tomo esta área por encima de y = 6, el área debajo de la curva por encima de y = 6, puedo completar el área debajo de y = 6 pero por encima de mi curva. Eso significa que esta área aquí es igual a esta área aquí.

La segunda cosa es que debido a que mi función aquí es continua ( y = 9 – x ^ 2 es continua), en algún punto entre 0 y 3, esa curva debe ser igual a y = 6. Esto es como cuando conducía; si tenía un promedio de 60 mph, en algún punto de la autopista tenía que ir a 60 mph.

Resumen de la lección

En algún punto entre 0 y 3, la curva debe ser igual al valor promedio de 6

Revisemos. El valor promedio y el teorema del valor promedio dicen que el promedio de alguna función f (x) es igual a 1 dividido por el ancho de la región (si mi región va de a a b , eso es 1 / ( b – a )) veces la integral de a a b de f (x) dx . Esto es tomar el área y dividirla por el ancho. Eso me dará una altura media. Para una función continua , el promedio de f (x) tiene que ser igual a algún punto a lo largo de esta curva al menos una vez. Aquí, escribo que como la media de f (x) entre una yb será igual a f (c) para algún c entre a y b , que es un valor de x entre a y b .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador