Teoría de números: Divisibilidad y algoritmo de división

Algoritmo de división

¿Recuerdas en la escuela primaria cuando traías un regalo para compartir con la clase en tu cumpleaños? ¿No fue genial? Suponga que es su cumpleaños y decide mantener viva la tradición y traer 25 dulces para compartir con sus compañeros de trabajo. Tienes 6 compañeros de trabajo en tu departamento a quienes regalar los dulces. Te sientas a calcular cuántos dulces recibirá cada trabajador.

Te das cuenta de que este es un simple problema de división. Divides el número de caramelos por el número de compañeros de trabajo para resolver el problema.

25/6 = 4 resto 1

Esto le indica que cada compañero de trabajo recibirá 4 caramelos y le sobrará 1 pieza. En otras palabras:

25 = 6 * 4 + 1

Esta ecuación en realidad representa algo llamado algoritmo de división . En la ecuación, llamamos a 25 el dividendo , 6 el divisor , 4 el cociente y 1 el resto . El algoritmo de división es básicamente un nombre elegante para organizar un problema de división en una ecuación agradable. Se establece que para cualquier entero una y cualquier número entero positivo b , existe enteros únicos q y r tales que un = bq + r, donde r es mayor que o igual a 0 y menor que b. ¿Te suena familiar esa ecuación? ¡Debería! ¡Está exactamente en la forma de la ecuación que encontramos que representa nuestro problema de dulces! Ahora, hablemos de un caso especial del algoritmo de división: es decir, cuando tenemos un resto igual a 0.

Divisibilidad

Cuando establecemos un problema de división en una ecuación usando nuestro algoritmo de división, y r = 0, tenemos la siguiente ecuación:

a = bq

Cuando este es el caso, decimos que a es divisible por b . Si esto es demasiada jerga técnica para usted, ¡no se preocupe! En realidad, es bastante simple. Si un número b se divide en un número a de manera uniforme, entonces decimos que a es divisible por b .

Por ejemplo, 8 es divisible entre 2, porque 8/2 = 4. Sin embargo, 8 no es divisible entre 3, porque 8/3 = 2 con un resto de 2. Vemos que podemos verificar si un número, un , es divisible por otro número, b , simplemente realizando la división y verificando si b se divide en a uniformemente.

Bastante bien, ¿eh? Bueno, ¡está a punto de ponerse aún más genial! Veamos algunas reglas realmente ordenadas y divertidas que podemos usar para determinar si ciertos números se dividirán en otros números de manera uniforme.

Reglas de divisibilidad

Hay algunas reglas de divisibilidad bastante brillantes que nos informarán sobre números específicos y su divisibilidad. Por ejemplo, puede darse cuenta de que los números pares siempre son divisibles por 2. Esta es solo una de las muchas reglas de divisibilidad. Estos son algunos de los más simples:

• Si tiene el número 3 como divisor , el dividendo es divisible por divisor si la suma de los dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, el número 27 es divisible por 3 porque la suma de los dígitos, 2 + 7 = 9, que es divisible por 3, por lo que 27 es divisible por 3.
• Si tiene el número 4 como divisor , el dividendo es divisible por divisor si los dos últimos dígitos del dividendo son divisibles por 4. Por ejemplo, el número 328 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos, 28, son divisibles por 4.
• Si tiene el número 5 como divisor , el dividendo es divisible por divisor si el último dígito es 0 o 5. Por ejemplo, el número 30 es divisible por 5 porque el último dígito de 30 es 0.
• Si tiene el número 6 como divisor , el dividendo es divisible por divisor si el número es divisible por 2 y 3. Por ejemplo, el número 24 es divisible por 6 porque 24 es divisible por 2 y 3.
• Si tiene el número 10 como divisor , el dividendo es divisible por divisor si el último dígito es 0. Por ejemplo, el número 270 es divisible por 10 porque termina en 0.

Hay muchas más de estas reglas para diferentes números, pero estas son algunas de las más comunes y simples. Echemos un vistazo a un ejemplo que reúne todo esto.

Ejemplos

Repasemos el ejemplo de los dulces en el trabajo. Suponga que está tratando de decidir qué paquete de dulces comprar para llevar al trabajo y repartir entre sus 6 compañeros de trabajo. Un paquete contiene 36 caramelos y el otro 44. No querrás que te sobren pedazos. ¿Alguna idea de cómo esto se relaciona con el algoritmo de división y la divisibilidad?

Bueno, sabemos que podemos determinar cuántos dulces obtendrá cada trabajador al realizar la división, y no queremos que sobren trozos. En el algoritmo de división, esto significa que queremos que el resto sea 0. ¡A su vez, esto nos dice que queremos que el número de caramelos sea divisible por 6! ¡Ah-ja! ¡Esa es la conexión! Entonces, en realidad, todo lo que tenemos que hacer para decidir qué dulces comprar es determinar si 36 y 44 son divisibles por 6.

Podemos realizar la división, o podemos usar la regla de divisibilidad para 6, que establece que el dividendo debe ser divisible por 2 y 3. El número debe ser par para ser divisible por 2, y la suma de los dígitos debe ser divisible. por 3 para ser divisible por 3. Vemos que tanto 36 como 44 son pares, por lo que ambos son divisibles por 2. ¡Muy fácil! Veamos la suma de sus dígitos.

Para ver si 36 es divisible entre 6, sumamos los dos dígitos y luego vemos si esa suma es divisible por 3. 3 + 6 = 9, y 9/3 = 3, entonces 36 es divisible por 2 y 3. Por lo tanto , 36 es divisible por 6.

Ahora, verifiquemos si 44 es divisible entre 6. Sumaremos los dos dígitos y luego veremos si esa suma es divisible por 3. 4 + 4 = 8, y 8/3 = 2 con el resto de 2, entonces 44 es divisible entre 2 pero no entre 3. Por lo tanto, 44 ​​no es divisible entre 6.

Vemos que la suma de los dígitos de 36 es divisible por 3, pero la suma de los dígitos de 44 no es divisible por 3. Por lo tanto, 36 es divisible por 6 y 44 no lo es. Bueno, ¡eso hizo que la decisión de los dulces fuera mucho más fácil!

Resumen de la lección

Los algoritmo de la división estados que para cualquier entero, una , y cualquier número entero positivo, b , existe enteros únicos q y r tales que un = bq + r (donde r es mayor que o igual a 0 y menor que b ). Llamamos a una del dividendo , b el divisor , q el cociente y r el resto . Cuando el resto es 0, decimos que a es divisible por b. Un número, a , es divisible por un número, b , cuando b se divide en a uniformemente.

¡Estar familiarizado con la divisibilidad y el algoritmo de división nos ayuda a comprender la división incluso más de lo que ya lo hacemos! Por lo tanto, es genial tener estos conceptos en su caja de herramientas de matemáticas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador