Uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones complejas

Usando la regla de la cadena

Gráfica de la parábola para la ecuación f (x) = (2x – 4) al cuadrado

Digamos que estás sosteniendo una cuerda que está conectada en un extremo a una pared y el otro extremo está en tus manos. Esta cuerda puede seguir el camino de una parábola, pero hagámosla un poco más realista. Si ha clavado la cuerda a una altura de 16 pies en una pared y está a cuatro pies de distancia de esa pared que sostiene el otro extremo de la cuerda, esta parábola está dada por la ecuación f (x) = (2 x – 4 ) ^ 2. Ya no es solo x ^ 2. Ahora quieres encontrar cuál es la pendiente de esta parábola en cualquier punto dado. Entonces, ¿cuál es la pendiente cerca de tus manos? ¿Cuál es la pendiente en la parte inferior? ¿Cuál es la pendiente junto a la pared? ¿Cómo encuentras eso?

Necesitas encontrar la derivada de f (x) . ¿Qué es f` (x) ? Si f (x) = x ^ 2, entonces f` (x) = 2 x . Usando su regla de potencias, donde si f (x) = x ^ n , entonces f` (x) = nx ^ ( n – 1). Pero, ¿qué sucede en el caso de f (x) = (2 x – 4) ^ 2? ¿La derivada es igual a 2 x ? ¿Es igual a tal vez 4 x (ya que tiene los 2 adicionales allí)? ¿Qué es?

Entendiendo la regla de la cadena

Para calcular esta y otras derivadas más complicadas, necesita conocer la regla de la cadena . La regla de la cadena se usa para unir partes de ecuaciones o para diferenciar ecuaciones complicadas como ecuaciones anidadas . Entonces, si tiene f (x) y esta función es realmente g (h (x)) , tiene una función dentro de otra función. Si tiene x ^ 2, pero en lugar de ser una x , tiene sin x , entonces tiene una ecuación, sin x , dentro de otra ecuación, x ^ 2.

La regla de la cadena es bastante simple: utilícela siempre que vea paréntesis. A veces, lo usará cuando no vea paréntesis, pero están implícitos. Pero la regla general es que cuando veas paréntesis vas a usar la regla de la cadena. Para aplicarlo, toma derivadas de afuera hacia adentro. Entonces, si tienes f (x) = g (h (x)) , entonces vas a diferenciar la función externa. Luego lo vas a multiplicar por la derivada de la función interna. Entonces, para f (x) = g (h (x)) , la derivada de f (x) es f` (x) = g` (h (x)) * h` (x) .

Resolver usando la regla de la cadena

Usando la regla de la cadena, inserte 2x – 4 en el paréntesis

Veamos qué significa esto en la práctica. Si tenemos alguna función, por ejemplo, f (x) = (2 x – 4) ^ 2, entonces realmente tenemos dos funciones. Nuestra primera función es el paréntesis al cuadrado, y nuestra segunda función es lo que hay dentro, 2 x – 4.

Primero, voy a ignorar el interior por un segundo y simplemente lo llamaré ‘paréntesis al cuadrado’. Voy a tomar la derivada de paréntesis al cuadrado, que sería 2 veces lo que esté entre paréntesis. Luego, necesito multiplicar eso por la derivada de lo que esté entre paréntesis. Entonces, si inserto lo que está entre paréntesis, 2 x – 4, tengo 2 (2 x – 4) * d / dx (2 x – 4). La derivada es solo 2 ( d / dx ) x – ( d / dx ) 4. La derivada de x con respecto a x es 1 y la derivada de 4 es cero. Luego obtengo 2 (2 x – 4) * 2 o, simplificado, 4 (2 x – 4).

Regla de cadena con e ^ n

A veces, no tiene los paréntesis que le dicen que use la regla de la cadena; simplemente están implícitos, como en y = e ^ 2 x . Esto es como decir y = e ^ (2 x ). Entonces, si quiero encontrar la derivada, y` , primero necesitaría diferenciar toda la función e ^ (2 x ), y la derivada de e ^ () es solo eso. Entonces, multiplicaremos eso por la derivada de lo que está dentro del paréntesis. Voy a insertar 2 x donde tengo los paréntesis. Entonces tengo y` = e ^ (2 x ) * d / dx (2x ). La derivada de 2 x es solo 2. Todo esto se simplifica a y` = 2 e ^ (2 x ).

Veamos y = ( x + x ^ 2) ^ 3. Mis paréntesis me dicen que necesito usar la regla de la cadena. Entonces, ¿cuál es la derivada de algo al cubo? Eso es 3 veces el cuadrado de esa cosa, pero debes multiplicarlo por la derivada de lo que estaba adentro. Reemplazando lo que esté dentro del paréntesis, la derivada de x + x ^ 2 es igual a 1 + 2 x . Cuando conectamos eso, terminamos con y` = 2 ( x + x ^ 2) ^ 2 * (1 + 2 x ).

Usar la regla de la cadena con una función trigonométrica

Regla de cadena con funciones de activación

¿Qué pasa con, y = sin ((3 x + 2) ^ 2)? Aquí tengo dos pares de paréntesis. Quizás usemos la regla de la cadena dos veces. Veamos: y` es la derivada del exterior (la derivada de sin ( x ) es cos ( x ), por lo que tenemos el coseno de lo que esté dentro del paréntesis). Voy a multiplicar esto por la derivada de lo que está dentro del primer paréntesis. Veamos el segundo término: la derivada con respecto a x de (3 x + 2) ^ 2. Vamos a tomar la derivada del exterior, por lo que es (2 (3 x + 2) * d / dx (3 x + 2). La derivada de 3 x+ 2 es solo 3 porque la derivada de 3 x es 3 y la derivada de 2 es cero. Si simplificamos esto, terminamos con y = 6 (3 x + 2) * cos ((3 x + 2) ^ 2). ¡Eso es un bocado! Pero el truco aquí es trabajar desde afuera hacia adentro.

Trabajando desde afuera hacia adentro

Cuando digo trabajar a su manera de afuera hacia adentro, tome la derivada de afuera, y` = 3 (( x + 2) ^ 2) ^ 2, multiplicada por la derivada de adentro, d / dx (( x + 2) ^ 2)). Nuevamente, voy a trabajar mi camino y llevar este primer término hacia abajo, por lo que d / dx (( x + 2) ^ 2) es (2 ( x + 2) * d / dx ( x + 2)). La derivada de x + 2 es solo 1, y luego puedo simplificar una vez que haya resuelto todos mis paréntesis. Esto también se aplica a ejemplos como f (x) = cos (3 x ). f` (x) es igual a la derivada del exterior, -sin (3 x), multiplicado por la derivada del interior (la derivada de 3 x es solo 3).

Usando la estrategia de trabajar desde afuera hacia adentro

f` (x) x f (x) e x f` (x) e x

Resumen de la lección

El truco con la regla de la cadena es abrirse camino hacia adentro. Por lo general, se usa cuando tiene paréntesis. Entonces, si quieres encontrar f` (x) cuando f (x) = g (h (x)) , primero vas a encontrar la derivada del exterior, la derivada de g , g` (h (x) ) – y lo vas a multiplicar por la derivada del interior, h` (x) .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador