Uso de modelos cuadráticos para encontrar valores mínimos y máximos: definición, pasos y ejemplo

Parábolas en la vida real

Riley y Sam son hermanos. Riley trabaja como arquitecto paisajista diseñando fuentes de agua gigantes para grandes hoteles y empresas. Riley tiene que hacer muchos cálculos matemáticos para calcular el tamaño, la forma y la dirección del agua que sale de la fuente de agua. Su hermano Sam es entrenador de tenis de una escuela secundaria local. Sam les recuerda a sus alumnos que es importante hacer rebotar la pelota de tenis una vez en el lado de la red del oponente. El flujo de agua de una fuente y el rebote de una pelota de tenis en una cancha crean una forma de U similar llamada parábola.

Las parábolas se encuentran en muchas áreas de la vida. Los puentes crean ejemplos perfectos de parábolas. Una pelota que se lanza al aire o que rebota en el suelo forma una parábola durante su viaje. La colina más alta de una montaña rusa a menudo creará la forma de una parábola.

Parábolas y funciones cuadráticas

Entonces, ¿qué es una parábola ? Una parábola es una línea en forma de U que es simétrica a lo largo de la línea de simetría, lo que significa que si dibuja una línea exactamente en el centro de la forma de U, crea una imagen especular a través de esa línea. Esta forma de U puede abrirse y crear una U genuina, o puede abrirse hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha.

La parte superior o la parte inferior de esa forma de U donde la línea pasa por el centro de la parábola se llama vértice. El vértice de una parábola es el pico de la curva de la parábola. Nuevamente, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, el vértice podría estar en la parte superior o en la parte inferior de esa curva.

Matemáticamente, se crea una parábola con una función cuadrática , que es una ecuación con la forma de a x ^ 2 + b x + c. La parte a x ^ 2 es la parte de la función que crea esa bonita curva redondeada en esa forma de u en lugar de una v.

Las parábolas que se abren o se abren, así, tienen lo que se denomina un valor mínimo y un valor máximo.

valor máximo y valor mínimo y

Encontrar valores gráficamente

Pensemos en el significado de las palabras «mínimo» y «máximo». ‘Máximo’ generalmente significa ‘la mayoría’ o ‘más’ o ‘más grande’. Si obtuve el número máximo de puntos en una prueba, entonces sé que obtuve la mayor cantidad de puntos. Si Susan obtuvo la máxima cantidad de papas fritas, sabemos que tiene la mayor cantidad de papas fritas que podría obtener. «Mínimo» generalmente significa «menor» o «menor» o «menor». Entonces, cuando pienso en la cantidad mínima de puntos que tengo que anotar para ganar un juego, probablemente estoy pensando en el número más pequeño.

El mismo concepto funciona con valores mínimos y máximos de una parábola. Si la parábola se abre hacia abajo, lo que significa que tiene la forma de una colina, entonces la parte superior de esa colina sería el valor máximo de la parábola. Sería la altura máxima que una persona podría alcanzar si estuviera subiendo esa colina. Si la parábola se abre y crea un valle, o forma de U, entonces el fondo de ese valle sería el valor mínimo. Sería el punto más bajo que una persona podría viajar en ese valle.

Podemos identificar el valor mínimo o máximo de una parábola identificando la coordenada y del vértice. Eche un vistazo a este gráfico. El vértice está ubicado en el punto (2.5, -.5) y la parábola se abre. Eso significa que la parábola tiene un valor mínimo, que es y = 2.5.

¿Qué pasa con este gráfico? El vértice se encuentra en el punto (1,6) y la parábola se abre hacia abajo. Eso significa que la parábola tiene un valor máximo, que es y = 6.

Encontrar valores algebraicamente

Riley está trabajando en un nuevo diseño de fuente de agua. Quiere que tres de los surtidores de agua disparen agua al aire a la misma altura. La función cuadrática para las dos primeras salidas de agua es f ( x ) = -2 x ^ 2 + 3 x + 2. La tercera salida de agua tiene un valor máximo de 3,125. ¿Los tres surtidores disparan una parábola de agua del mismo valor máximo?

Dado que nuestro problema está en forma estándar, f ( x ) = a x ^ 2 + b x + c, Riley puede encontrar el valor máximo de la ecuación encontrando primero el vértice usando la fórmula x = -b / 2a. Ubica by a en la ecuación original y reemplaza esos números en nuestra fórmula.

• x = -3 / 2 (-2)
• x = -3 / -4
• x = ¾ o 0,75

Ahora, tome .75 y vuelva a insertarlo en nuestra ecuación original para encontrar la coordenada y del vértice. f ( x ) = -2 (.75) ^ 2 + 3 (.75) +2. Evalúa la ecuación. f ( x ) = 3,125. El valor máximo de las dos primeras salidas de agua coincide perfectamente con el valor máximo de la tercera salida de agua.

Resumen de la lección

Así que recuerde, una parábola es una línea en forma de U que es simétrica a través de la línea de simetría. Las parábolas que se abren o se abren tienen lo que se conoce como valor mínimo y máximo. El valor máximo de una parábola es la coordenada y del vértice de una parábola que se abre hacia abajo. El valor mínimo de una parábola es la coordenada y del vértice de una parábola que se abre.

Podemos identificar el valor mínimo o máximo de una parábola identificando la coordenada y del vértice. Puede usar una gráfica para identificar el vértice o puede encontrar el valor mínimo o máximo algebraicamente usando la fórmula x = -b / 2a. Esta fórmula te dará la coordenada x del vértice. Simplemente reemplace la x en su ecuación original con el valor de la coordenada x y luego resuelva para y . ¡Eso le dará la coordenada y del vértice y su valor mínimo o máximo! Si la ecuación está en forma de vértice, que es y = a ( x – h) ^ 2 + k, recuerde que k en esa ecuación es ely -coordinada del vértice.

Los resultados del aprendizaje

Terminar esta lección podría permitirle alcanzar estos objetivos:

• Dar ejemplos de parábolas de la vida real
• Resalta las características de una parábola.
• Localice el valor mínimo o máximo en el gráfico de una parábola vertical
• Calcular el valor mínimo o máximo de una parábola

Rodrigo Ricardo Editor y fundador