Ecuaciones dimensionales
Al resolver problemas de física, a veces es más fácil hacer primero toda la derivación de la ecuación antes de introducir valores numéricos; sin embargo, esto puede dar lugar a errores en términos de unidades o dimensiones. El proceso de ecuación dimensional es útil para determinar si una ecuación se ha derivado correctamente. En cualquier ecuación dimensional, M se usa para representar la masa, L se usa para representar la longitud y T se usa para representar el tiempo. Repasemos algunos ejemplos usando ecuaciones dimensionales.
Un buen punto de partida para comprender este proceso es determinar la ecuación dimensional del volumen de un cubo. Tomemos ahora un momento para ver algunos ejemplos:
Ejemplo 1
La ecuación para el volumen de un cubo es
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y conectamos M , L y T en esta ecuación para obtener
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Dado que cualquier valor elevado a cero es 1, la única parte que queda en nuestra ecuación dimensional es la longitud al cubo, que es el volumen.
Ahora podemos ver una ecuación derivada más avanzada.
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Ejemplo 2
La ecuación para determinar la distancia horizontal que viaja un proyectil se da como:
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Aquí es donde R es el alcance o distancia horizontal que viaja un proyectil, v 0 es la velocidad inicial del proyectil, θ es el ángulo de lanzamiento y g es la aceleración debida a la gravedad.
Entonces, al conectar M , L y T obtenemos:
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Como puede sospechar, esta ecuación requiere una simplificación. Nos damos cuenta de que el seno de un ángulo no tiene unidad, por lo que sin (2θ) se puede dejar fuera de la ecuación. M 0 también se elimina de la ecuación porque, como vimos anteriormente, es igual a 1.
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Observe que nuestra dimensión resultante es la longitud, que es exactamente el rango horizontal de un proyectil.
Análisis dimensional
Existen limitaciones para usar una ecuación dimensional para verificar que una ecuación proporcione las unidades adecuadas. Hay unidades en física que se derivan usando masa, longitud, tiempo y otras variables. Ejemplos de estos tipos de unidades derivadas son la fuerza, que se mide en newtons, y la energía, que se mide en julios. El newton es un kilogramo metro por segundo al cuadrado (kgm / s 2 ). El joule es un newton-metro que se puede representar por kgm 2 / s 2 . Cuando estas unidades se representan en una ecuación dimensional, las unidades de la simplificación resultante pueden perder el contexto de la ecuación. Esto hace que sea difícil determinar si la ecuación original es correcta, frustrando el propósito de una ecuación dimensional.
Existe otro proceso que es muy similar a una ecuación dimensional, llamado análisis dimensional , en el cual las unidades reales se conectan a las variables de una ecuación. Simplificar las unidades puede determinar si la ecuación es correcta o no.
Terminemos esta lección con dos ejemplos más:
Ejemplo 3
Volvamos a la ecuación de alcance de un proyectil y conectemos unidades en lugar de M , L y T :
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Podemos ver cuán similar es esto a nuestra ecuación dimensional original, pero la unidad resultante que queda después de la simplificación es el metro, la unidad del sistema métrico internacional para el desplazamiento, en lugar de L, que solo representa la longitud.
El análisis dimensional es muy útil cuando una ecuación tiene una constante física, como la constante gravitacional universal G, que tiene la unidad Nm 2 / kg 2 . El periodo orbital de una ecuación de satélite incluye G . Usemos el análisis dimensional para mostrar que la unidad de tiempo correcta sale de la ecuación. Conectaremos unidades en lugar de dimensiones.
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En la segunda línea, la última expresión es lo más simple posible en términos de unidades, a pesar de que hay bastantes. Todos ellos son puros y no se pueden descomponer en nada más. El 2π se deja fuera del análisis dimensional porque es una constante. Ahora podemos ponernos manos a la obra cancelando unidades, lo que resulta, como puede ver, con la raíz cuadrada de s al cuadrado, que obviamente es s .
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La unidad sobrante son los segundos, que definitivamente es una medida de tiempo.
Ejemplo 4
La velocidad de un satélite en el apogeo (la distancia más lejana de la Tierra en una órbita elíptica) viene dada por
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Conectando las unidades para las variables y constantes y luego simplificando, obtenemos estas ecuaciones:
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La línea dos muestra todas las unidades puras, y las líneas tres y cuatro muestran la cancelación progresiva de unidades hasta que no quede nada que cancele: por eso termina en la raíz cuadrada de metros cuadrados por segundo cuadrado, que es simplemente metros por segundo. La velocidad tiene las unidades metros por segundo, om / s , por lo que nuestro análisis dimensional demuestra que esta ecuación es correcta.
Resumen de la lección
Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Al resolver problemas de física, es muy común tener que insertar una ecuación en otra ecuación. El álgebra se usa para simplificar esta nueva ecuación. Para determinar si la ecuación resultante es correcta, se puede utilizar uno de dos procesos: una ecuación dimensional o un análisis dimensional.
Una ecuación dimensional usa las dimensiones de masa ( M ), longitud ( L ) y tiempo ( T ), y las introduce como variables de la ecuación. Si no hay una variable para una dimensión, entonces se ingresa a la potencia cero, lo que efectivamente cancela esa dimensión por completo. Se hace más simplificación y las dimensiones resultantes deben ser las que la ecuación establece.
El análisis dimensional es similar a una ecuación dimensional, pero es un proceso mediante el cual las unidades reales se conectan a una ecuación. Luego, las unidades se pueden simplificar y lo que queda debe mostrar lo que representa la ecuación.
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