Vida media y Desintegración Radiactiva: Ecuación, cálculos y gráficos

Ecuación de desintegración radiactiva (vida media)

Cada elemento tiene un núcleo formado por un número distinto de protones y neutrones que se encuentran en el centro del átomo y constituyen la mayor parte de la masa de un elemento. Si bien cada elemento tiene un núcleo específico, no siempre son estables. Cuando los elementos tienen núcleos inestables, estos se esfuerzan por estabilizarse emitiendo rayos y partículas, lo que se conoce como radiación . Este proceso, conocido como desintegración radiactiva , no es provocado y continúa de forma natural hasta que el elemento tiene un núcleo estable. Los elementos que sufren desintegración radiactiva se descomponen a diferentes velocidades. La forma en que se miden estas tasas es a través de vidas medias. Como sugiere su nombre, la vida media es el tiempo que tarda la mitad del núcleo en descomponerse. La siguiente ecuación utiliza vidas medias para determinar qué cantidad de un elemento queda después de un período de tiempo determinado:

{eq}N = N_0 (\frac{1}{2})^{n} {/eq}

donde N es la cantidad del elemento que queda, {eq}N_0 {/eq} es la cantidad inicial del elemento y n es la cantidad de vidas medias que han transcurrido. Si se desconoce cuántas vidas medias han transcurrido, n se puede resolver dividiendo el tiempo transcurrido (t) por la duración de la vida media (T):

{eq}n=t/T {/eq}

Cómo calcular la desintegración radiactiva

Usando la ecuación anterior para la desintegración radiactiva, veamos un ejemplo sobre cómo calcular la desintegración de la vida media:

Los vendajes pueden esterilizarse exponiéndolos a la radiación del cobalto-60, que tiene una vida media de 5,27 años. ¿Qué cantidad de una muestra de 10,0 mg de cobalto-60 queda después de una, dos y tres vidas medias?

Recuerde la ecuación {eq}N = N_0 (\frac{1}{2})^{n} {/eq}. {eq}N_0 {/eq} se da como 10,0 mg y, para resolver la primera vida media, n=1. Para resolver N, reemplazamos los valores anteriores en la ecuación {eq}N= 10 (\frac{1}{2})^{1} {/eq}. Resolviendo este problema en una calculadora científica, N=5. Esto también es de sentido común, ya que la mitad de 10 es 5, por lo que la cantidad natural de los 10 mg de este elemento después de una vida media es de 5 mg.

Resolvamos ahora la segunda vida media. Usando la misma ecuación y el mismo {eq}N_0 {/eq}, cambie n a 2. La ecuación debería verse así: {eq}N=10(\frac{1}{2})^{2} {/ ecuación}. Resolviendo este problema, la cantidad de cobalto que queda después de la segunda vida media es de 2,5 mg. Esto también era la mitad de la cantidad que quedaba después de la primera vida media.

Entonces se puede predecir que la cantidad de cobalto que queda después de la tercera vida media sería la mitad de esta cantidad {eq}2,5/2 = 1,25 {/eq}. Comprobemos con la ecuación donde {eq}N_0 {/eq} sigue siendo 10 y n=3. {eq}N=10 (\frac{1}{2})^{3} {/eq}. Aquí se encuentra que N = 1,25 mg después de la tercera vida media.

Hagamos un ejemplo que no necesita la fórmula, sino más bien una comprensión básica de cómo calcular la caída de la vida media:

Si una sustancia tiene una vida media de 9 años, ¿cuánto de la muestra inicial queda después de 36 años?

Observe que en este problema la cantidad exacta inicial y final de una muestra no es relevante, solo el porcentaje o fracción de la muestra. Para resolver esto, a veces es más fácil hacer una tabla para rastrear las vidas medias en comparación con los años transcurridos. Recuerde que a los 0 años, han evolucionado 0 vidas medias, por lo que el 100% de la muestra está presente. Después de la primera vida media, que es de 9 años, la mitad de la muestra está presente (recuerde que la vida media significa dividirla por la mitad), por lo que hay un 50% presente. La segunda vida media significaría que han transcurrido 18 años y queda la mitad del 50% de la muestra, quedando el 25% de la muestra. Continuando con la tabla para la tercera vida media (27 años) y la cuarta vida media (36 años), y dividiendo el tamaño de la muestra por la mitad cada vez, el porcentaje resultante de la muestra es 6,25.

Introducción

Imagina que te estás instalando para ver la nueva película de acción en tu cine local. Tienes un gran bote de palomitas de maíz en tu regazo y estás sentado mirando cómo comienzan las vistas previas. Aproximadamente 15 minutos después, las vistas previas terminan y notas que se han acabado la mitad de las palomitas de maíz. Debe haber sido bueno. La película comienza y disminuyes un poco tu alimentación, pero 15 minutos después de haber comenzado la película, te has comido la mitad de lo que te quedaba y te quedan una cuarta parte de tus palomitas. Esto continúa durante el resto de la película hasta que se acaban todas las palomitas de maíz.

Si tuviéramos que graficar cómo comes palomitas de maíz durante la película, podría verse así. Quizás notes algunas cosas sobre este gráfico. En primer lugar, su consumo de palomitas de maíz no se produjo a un ritmo constante. Si ese fuera el caso, parecería más bien una línea recta. Lo que demuestra es que comiste más rápido al principio que al final, porque se consumen más palomitas de maíz en los primeros 15 minutos que en los segundos 15 minutos. Lo segundo que podrás notar es que cada 15 minutos comes la mitad de lo que comías.

Número de vidas medias (n)	Años pasados	Cantidad de sustancia
0	0	100%
1	9	50%
2	18	25%
3	27	12,5%
4	36	6,25%

Gráfico de desintegración radiactiva

La gráfica de un elemento que sufre desintegración radiactiva se puede clasificar como gráfica exponencial, específicamente desintegración exponencial . En estos gráficos, el valor de y disminuye y se acerca a cero a medida que el valor de x crece exponencialmente. Independientemente del elemento, el valor inicial o la duración de las vidas medias, cada gráfico de desintegración tendrá el mismo patrón y pendiente exponencial negativa.

Volviendo al ejemplo anterior con cobalto-60, los valores calculados se pueden representar gráficamente para crear un gráfico de desintegración.

Número de vidas medias (n)	Cantidad de cobalto-60 restante en mg (N)
0	10
1	5
2	2.5
3	1.25
4	0,625
5	0.3125

Cómo calcular la vida media a partir de un gráfico

Como ocurre con cualquier fórmula, se pueden utilizar gráficas para encontrar los valores correspondientes. Por lo tanto, el gráfico de descomposición de elementos se puede utilizar para calcular las vidas medias en función de la cantidad de elemento restante. Recuerde que la primera vida media es cuando la cantidad inicial del elemento se agota a la mitad . Al observar el gráfico de caída exponencial, se puede determinar que el tiempo de vida media en el eje x se alinearía con el valor del eje y de la mitad del original. Por ejemplo, si el valor de y inicial es 15 g, después de la primera vida media, el valor de y debe ser la mitad de este: 7,5 g. Una vez que encuentre 7,5 g en el eje y, determine el valor de x que corresponde en el gráfico.

Veamos un ejemplo en una gráfica de estroncio-90 que comienza con 22 g.

Dado que el valor de y comienza en 22 g, la cantidad de estroncio que debe quedar después de una vida media es la mitad de esta, que es 11 g. Encuentre 11 g en el eje y y observe qué valor de x se correlaciona. Se puede estimar que su vida media es de unos 30 años, ya que se sitúa entre 20 y 40.

Resumen de la lección

La desintegración radiactiva se produce cuando elementos con núcleos inestables se descomponen y emiten radiación hasta estabilizarse. La descomposición de sus núcleos se mide por vidas medias , que es la cantidad de tiempo que tarda la mitad del elemento en descomponerse. Para calcular la cantidad restante de un elemento después de la desintegración, también conocida como desintegración de la vida media, use la ecuación {eq}N = N_0 (\frac{1}{2})^{n} {/eq} donde N es la cantidad del elemento que queda, {eq}N_0 {/eq} es la cantidad inicial del elemento y n son las vidas medias que han transcurrido. El gráfico de desintegración radiactiva siempre sigue el formato de un gráfico de desintegración exponencial , donde el valor y se acerca continuamente a cero a medida que aumenta el eje x.