Visualización de relaciones entre objetos 2D y 3D

Objetos 2D y 3D

¿Sabías que realmente no existe una forma 2D en todo el mundo? Solo existe en los espacios de imaginación y pensamiento abstracto de los matemáticos y de todos los demás, incluso tú. Solo piense, las formas que aprendió cuando era joven, como cuadrados, círculos y triángulos, solo existen como formas 2D en su mente. Puede dibujarlos en papel, pero no hay forma de que pueda hacer una forma 2D en el mundo real. Todo lo que hagas y puedas tocar en el mundo real es un objeto 3D. Por definición, una forma 2D es cualquier cosa con solo dos dimensiones, generalmente un ancho y un largo. Un objeto 3D, tiene tres dimensiones, generalmente ancho, alto y largo. Volviendo a las formas, si tratas de crear una forma 2D, como un imán rectangular para pegar en tu refrigerador, seguramente tendrás algo de altura, algo de grosor. Si no tuviera ningún grosor, no podría verlo ni tocarlo.

Ahora hablemos de visualizar algunas relaciones entre objetos 2D y 3D.

Secciones cruzadas

Primero, hablemos de secciones transversales . Estas son las formas que obtiene cuando corta un objeto 3D. Por ejemplo, imagínese cortando un poco de pan de masa madre.

Pan de masa fermentada

¿Qué tipo de forma 2D espera ver una vez que la haya cortado?

Pan de masa fermentada en rodajas

Si ha comido este tipo de pan antes, entonces sabrá que su rebanada se verá como un óvalo con un fondo plano. Esa es la sección transversal del pan de masa madre.

Ahora intentemos visualizar este corte en su mente visualizando también un objeto 3D.

Piense en una burbuja en su mente.

Una burbuja

Ahora, imagina que podrías sostener esta burbuja (no es posible en la vida real). E imagina que puedes cortar esta burbuja sin que se te caiga encima. ¿Qué tipo de forma esperarías al hacerlo? Si tiene dificultades para visualizar, es posible que necesite encontrar algo comparable a una burbuja a su alrededor que lo ayude. Un cuenco puede ser una buena opción si el cuenco parece medio círculo. ¡Ajá! lo ves ahora? Obtendrá el borde de un círculo ya que la burbuja está vacía por dentro. Y debido a que su círculo es una esfera, no importa cómo lo corte, siempre obtendrá un círculo.

Algunos objetos 3D le darán una forma diferente dependiendo de cómo los corte. Tome este prisma triangular, por ejemplo.

Si lo corta en paralelo al fondo triangular, sus rebanadas serán triángulos. Pero si lo corta perpendicularmente al lado triangular, entonces sus secciones transversales serán rectangulares.

Girar un objeto 2D

Ahora, intentemos ir en sentido contrario. Intentemos visualizar qué tipo de objetos 3D puede obtener girando una forma 2D. Prueba esta forma 2D.

Es un semicírculo. Y rotémoslo alrededor del eje x, el eje horizontal. Vea si puede imaginarse este semicírculo alejándose de usted mientras gira alrededor del eje x. Ves que se aleja de ti, luego se hunde y luego ves que sube de nuevo y se detiene donde comenzó. Como esta forma 2D está rotando, en realidad está creando un objeto 3D. Piense en esta forma 2D como un molde en movimiento. ¿Qué tipo de objeto 3D imaginaste? Si imaginó una pelota, ¡tiene razón!

De hecho, puede hacer algo similar en la vida real tomando una pila de papel de seda, pegando todas las páginas juntas en un lado para que actúen como el eje x, luego cortando un semicírculo con el eje x pegado como plano. lado. Luego, lo abanica tomando la hoja superior y volviéndola a encontrar con la última hoja. Pega estas dos hojas juntas y tendrás una esfera, una bola.

Ejemplo

Veamos un ejemplo.

¿Qué objeto 3D obtienes después de rotar esta forma 2D alrededor del eje y?

Trate de imaginarse este triángulo dando vueltas en un círculo alrededor del eje y. ¿Qué objeto te viene a la mente? Si necesitas ayuda, puedes volver a hacer el proyecto de papel tisú, pero esta vez pegas el lado del eje y juntos y cortas un triángulo como el que ves. Luego, toma el primer papel de seda y lo trae de vuelta para encontrar el último papel de seda. ¿Qué objeto obtienes? ¡Obtienes un cono! Dale la vuelta y puedes poner helado encima. Bueno, no puedes comer el cono de esta manera, pero puedes ver claramente que tiene forma de cono.

Resumen de la lección

Revisemos.

Una forma 2D es cualquier cosa con solo dos dimensiones, generalmente un ancho y un largo. Un objeto 3D tiene tres dimensiones, generalmente ancho, alto y largo.

Una sección transversal de la forma que se obtiene al cortar un objeto 3D. Deslícese a través de una esfera y siempre obtendrá un círculo, sin importar cómo lo corte. Pero corte un cono y puede obtener un círculo, una elipse o incluso una parábola, dependiendo de cómo lo corte.

Girar una forma 2D te dará un objeto 3D. Puede rotar alrededor del eje x o el eje y, o cualquier otro eje, siempre que se especifique. Al girar un semicírculo alrededor del borde plano, obtendrá un círculo. Al girar un rectángulo alrededor de un eje plano, obtendrá una lata o un cilindro.