Fórmula inversamente proporcional y ejemplos

Proporcionalidad

Se dice que dos variables son proporcionales cuando la variación de una de ellas provocó la variación de la otra, siempre que su división o multiplicación dé como resultado una constante (un valor que no cambia con las variaciones de A y B). Por ejemplo, considerando las variables A y B, cuando A cambia, entonces B cambia. Si, con estos cambios:

• La división entre A y B da como resultado siempre el mismo valor, se considera que A y B son directamente proporcionales entre sí.
• Considerando que, cuando A = A1 entonces B = B1, y cuando A = A2 entonces B = B2, A y B son directamente proporcionales si:

{eq} \ frac {A1} {B1} = \ frac {A2} {B2} = constante {/ eq}

Como consecuencia:

{eq} A1 = constante * B1 {/ eq}

{eq} A2 = constante * B2 {/ eq}

Por lo tanto:

{eq} A = constante * B {/ eq}

• La multiplicación entre A y B da como resultado siempre el mismo valor, se considera que A y B son inversamente proporcionales entre sí.
• Considerando que, cuando A = A1 entonces B = B1, y cuando A = A2 entonces B = B2, A y B son inversamente proporcionales si:

{eq} A1 * B1 = A2 * B2 = Constante {/ eq}

Por lo tanto:

{eq} A * B = constante {/ eq}

¿Qué es una relación inversamente proporcional?

Cuando dos variables son inversamente proporcionales, el crecimiento de una variable conduce a la disminución proporcional de la otra. Otra forma de expresarlo es decir que si el crecimiento de una variable conduce al crecimiento proporcional del recíproco de la otra. Siendo el recíproco de una variable, el número uno se divide por esta variable. El símbolo inversamente proporcional es {eq} \ propto {/ eq}. Por tanto, si X e Y son dos variables inversamente proporcionales, se escribe como:

{eq} X \ propto 1 / Y {/ eq}

X es inversamente proporcional a Y, o X es directamente proporcional al recíproco de Y.

Fórmula inversamente proporcional

Usar números para aclarar el concepto. Si en algún punto X = 10 e Y = 2, y cuando X cambia a 20 entonces Y cambia a 1, hay una indicación de que X e Y son inversamente proporcionales, ya que:

{eq} 10 * 2 = 20 * 1 = 20 {/ eq},

Donde 20 es la constante. Si se confirma la proporción, la siguiente ecuación es verdadera.

{eq} X * Y = 20 {/ eq}.

También será cierto que:

{eq} \ frac {20} {1} = 20 {/ eq} y {eq} \ frac {20} {2} = 10 {/ eq}.

Usando el símbolo k para indicar la constante, que en este ejemplo es igual a 20, entonces

{eq} \ frac {k} {Y} = X {/ eq}
Ejemplo 1

La tabla presenta los cambios en los valores de las variables A, B, C y D. Considerando que B, C y D varían según los cambios en A, encuentre cuál de ellos es inversamente proporcional a A y explique por qué.

Solución

Al observar la proporcionalidad entre B, C y D, a A, la variable C parece la que se probará primero. Recuerde que, para ser inversamente proporcionales, dos variables deben presentar una constante como su producto. Probando si {eq} A * C = k {/ eq} (constante), el resultado es:

{eq} 2 * 0.5 = 1 {/ eq}

{eq} 4 * 0.25 = 1 {/ eq}

{eq} 8 * 0.25 = 1 {/ eq}

{eq} 10 * 0.1 = 1 {/ eq}

{eq} 20 * 0.05 = 1 {/ eq}

{eq} 25 * 0.04 = 1 {/ eq}

Dado que A * C siempre da como resultado la constante 1, es cierto la afirmación de que A y C son inversamente proporcionales.

Gráfico inversamente proporcional

Un gráfico inversamente proporcional basado en los valores de A y C del ejemplo 1, se ve así:

La ecuación que muestra un software de trazado para este gráfico es {eq} C = 1 * A ^ {- 1} {/ eq} o {eq} C = 1 * \ frac 1A {/ eq}. Esta ecuación muestra que C es directamente proporcional al recíproco de A (y viceversa). La constante de proporcionalidad k es igual a 1. Sustituyendo algunos valores conocidos en esta forma de la ecuación, el resultado confirma la relación.

Si A = 2, entonces C = 0.5, por lo tanto:

{eq} 0.5 = \ frac 12 {/ eq}

Si A = 8, entonces C = 0.125, por lo tanto:

{eq} 0.125 = \ frac 18 {/ eq}

A modo de comparación, trazando un gráfico para la relación entre las variables A y B (directamente proporcional, ya que {eq} \ frac AB = k {/ eq}) del ejemplo 1, el resultado es:

Ejemplos de

Los ejemplos 2 y 3 a continuación muestran situaciones de la vida real que incluyen variables inversamente proporcionales.
Ejemplo 2

Durante un viaje, un automóvil cruza un puente en línea recta de 200 metros de largo con velocidad constante. A partir de los valores de la tabla, demuestre que el tiempo de cruce es inversamente proporcional a la velocidad del automóvil.

La tabla muestra que, obviamente, la longitud del puente (d) es una constante igual a 200 m. Mientras aumenta el valor de la velocidad, el tiempo disminuye. La ecuación de distancia viene dada por la física como {eq} d = V * t {/ eq}, que es válida para todos los valores en las tablas. Por tanto, V y t son inversamente proporcionales.

{eq} V = \ propto \ frac 1t {/ eq}.
Ejemplo 3

El monto que paga una persona por el transporte de muebles entre diferentes ciudades es de 400 dólares. Dado que transportarlo es un trabajo difícil, un trabajador podría pensar que es una buena idea tener ayuda adicional. Muestre cómo la cantidad de personas que realizan el trabajo es inversamente proporcional al dinero ganado por cada uno (considerando que el valor se dividirá por igual entre el grupo de trabajo).

Solución

Una tabla puede mostrar la variación de pago por persona para un grupo que puede tener hasta 4 personas.

Resumen de la lección

Esta lección presentó el concepto de variables inversamente proporcionales . Esta relación se caracteriza por cambios simultáneos entre dos cantidades. Cuando uno crece, el otro disminuye proporcionalmente. Por ejemplo, el tiempo de viaje es inversamente proporcional a la velocidad de un automóvil. El producto de estas dos variables da como resultado una constante (k). El símbolo que describe la proporción es {eq} \ propto {/ eq}, por lo tanto, si dos variables X e Y son inversamente proporcionales, se puede escribir como {eq} X \ propto \ frac 1Y {/ eq}.

A diferencia de la relación antes mencionada, las variables directamente proporcionales presentan un crecimiento mutuo. En este caso, si se dice que dos variables X e Y son directamente proporcionales, su división resultará en una constante. La proporción directa se puede escribir como {eq} X \ propto Y {/ eq}.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador