Números complejos y diagramas de Argand
A Diane le gustaría reunirse para almorzar. La mayoría de la gente simplemente le da una dirección o coordenadas, como latitud y longitud. Pero no Diane. Tu amiga es, bueno, compleja, así que dice que el lugar de encuentro estará en las coordenadas del diagrama de Argand que corresponden al número 6 – 3i.
Los diagramas de Argand proporcionan una forma de representar la información contenida en un número complejo, como 6 – 3i. En esta lección definimos el diagrama de Argand y usamos ejemplos para mostrar muchas de sus características interesantes. Esta información le ayudará a encontrar el lugar de reunión de Diane a tiempo para el almuerzo.
Eje real y eje imaginario
Primero, comencemos con el reino de lo real. Cuando el trazado de x y Y valores en un gráfico estamos representando visualmente la información mediante la localización de un punto en el plano cartesiano . El plano cartesiano es una región bidimensional donde se ubica cualquier punto del plano mediante el uso de dos números reales. Piense en el punto (3, 4). El valor de x , 3, se encuentra en el eje horizontal y pensamos en una línea vertical que cruza el eje horizontal en la ubicación x = 3. El valor de y , 4, se encuentra en el eje vertical, y una línea horizontal cruza el eje vertical en la ubicación del valor y . Estas líneas que cruzan el eje se cruzan en el punto (3, 4).
 |
La situación es análoga cuando se representan números complejos usando diagramas de Argand . Un número complejo como Z = 3 + 4i tiene una parte real , 3, y una parte imaginaria , 4. La parte que se multiplica por la letra i es la parte imaginaria. La parte real es el número no multiplicado por la letra i.
Un diagrama de Argand traza la parte real en el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical. Las líneas que se cruzan representan la ubicación del número complejo. Otro nombre para un diagrama de Argand es el plano complejo . Entonces, un número complejo como Z = 3 + 4i tendría las coordenadas (3, 4) en un diagrama de Argand.
 |
Tenga en cuenta que el eje horizontal está etiquetado como Real { Z } y el eje vertical está etiquetado como Imag { Z } donde la palabra Imaginario se ha abreviado a Imag.
Ahora sabemos que necesitamos dos números para encontrar la ubicación de la reunión del almuerzo de Diane en el diagrama de Argand, así que estamos en el camino correcto.
Números complejos sin parte imaginaria
Es posible que un número complejo sea estrictamente real y no tenga parte imaginaria. En este caso, la parte imaginaria es cero.
Ejemplo 1: en un diagrama de Argand, trace los siguientes números complejos:
Z 1 = -3
Z 2 = 2
Estos números tienen solo una parte real. Sus partes imaginarias son cero. Al trazar un número complejo que solo tiene una parte real, el punto se encuentra en el eje horizontal.
 |
Números complejos sin parte real
También es posible que un número complejo sea estrictamente imaginario y no tenga una parte real.
Ejemplo 2: en un diagrama de Argand, grafique los siguientes números complejos:
Z 3 = -2i
Z 4 = yo
Estos números tienen solo una parte imaginaria. Sus partes reales son cero. Al trazar un número complejo que tiene solo una parte imaginaria, el punto se encuentra en el eje vertical.
 |
Números conjugados complejos
Un número complejo es el conjugado complejo de otro número complejo cuando las partes imaginarias tienen signos opuestos. Por ejemplo, si Z = 2 + 3i, entonces el conjugado complejo es Z = 2 – 3i.
Ejemplo 3: Grafique los siguientes conjugados complejos en un diagrama de Argand:
Z 5 = 1 + 2i
Z 6 = 1 – 2i
 |
Dado que las partes reales son las mismas, los puntos están alineados verticalmente. Debido a que las partes imaginarias son iguales pero de signo opuesto, los puntos son simétricos con respecto al eje real.
Identificación de puntos en el diagrama de Argand
En lugar de ubicar un punto en el diagrama de Argand a partir del número complejo, también podemos identificar el número complejo cuando se le da el punto en el plano complejo.
Ejemplo 4: Identifique el número complejo para cada uno de los puntos en el diagrama de Argand.
 |
Z A y Z B son un par conjugado complejo debido a su simetría con respecto al eje real. Z A = -7 + 4i mientras que Z B = -7 – 4i.
Z C y Z D son estrictamente reales porque se encuentran en el eje real. Z C = 1 mientras que Z D = -5.
Z E y Z F son estrictamente imaginarios porque se encuentran en el eje imaginario. Z E = 3i y es Z F = -i.
Z G tiene una parte real y una parte imaginaria. No hay un par conjugado complejo para este punto del gráfico. Z G = 6 – 3i.
Desde el punto Z G , ahora sabemos lo que Diane quiso decir con 6 – 3i. ¡Ese número corresponde a las coordenadas (6, -3) en el diagrama de Argand!
Afortunadamente, hay dos calles en la ciudad llamadas Real e Imaginary y las unidades probablemente sean cuadras, por lo que le gustaría encontrarse en 6 cuadras a la derecha en Real y 3 cuadras paralelas a Imaginary. ¡Complejo pero fácil! La próxima vez, pidamos comida para llevar.
Resumen de la lección
El plano cartesiano es la región bidimensional donde se ubican los puntos usando dos números; un x valor y una y valor. Análogo al plano cartesiano es el diagrama de Argand , también llamado plano complejo , donde el eje horizontal es la parte real de un número y el eje vertical es la parte imaginaria.
Los números que tienen una parte real y una parte imaginaria se denominan números complejos . La parte imaginaria de un número complejo es la parte que multiplica la letra i mientras que la parte real no se multiplica por la letra i. Entonces, un número complejo como 6 – 3i correspondería a las coordenadas (6, -3) en el diagrama de Argand.
Continúa con:
- Álgebra
Cómo multiplicar tres o más números
Conceptos básicos de multiplicación Un granjero está recolectando huevos frescos hoy. Tiene 3 gallineros y...
- Ciencia de la computación
Diferencia entre diagramas de flujo de datos lógicos y físicos
Documentar el flujo Puedes pedirle a dos personas que describan el mismo objeto y probablemente...
- Álgebra
Números algebraicos y números trascendentales
Números algebraicos En álgebra, los números caen en una de dos categorías: algebraicos o trascendentales....
- Negocios
Ecuaciones de resta con números enteros de dos dígitos
Ecuaciones de resta Sam tiene clase de matemáticas a primera hora de la mañana. Le...