El efecto de las transformaciones lineales en las medidas de centro y dispersión

Los efectos de las transformaciones lineales

El profesor Shannon es profesor de ciencias en una universidad local. Recientemente, la profesora Shannon administró un examen a una de sus clases de ciencias. Estos son los porcentajes de calificaciones que recibió cada uno de los estudiantes en sus exámenes: 31, 17, 27, 35, 22, 35, 15, 17, 21, 27, 17.

UH oh. Parece que a los estudiantes no les fue muy bien en esta prueba. La media de este conjunto de datos es 24, lo que significa que los estudiantes obtuvieron un promedio de 24% en sus pruebas. Este es un ejemplo de medida de centro en el conjunto de datos. La desviación estándar de este conjunto de datos es de aproximadamente 7,4. Este es un ejemplo de una medida de dispersión en el conjunto de datos. Dado que 7.4 es un número bastante pequeño para la desviación estándar, esto significa que los números en el conjunto de datos están bastante cerca. Dado que los números están muy juntos y no se alejan mucho de la media, sabemos que todos los estudiantes fallaron en esta prueba y tienen una comprensión más o menos similar del concepto.

Si no está familiarizado con estos conceptos, haga una pausa en el video aquí y consulte algunas de nuestras otras lecciones sobre cómo resumir datos.

El profesor Shannon decide ayudar a los estudiantes calificando esta prueba en una curva. Una curva es un ejemplo de transformación lineal , que es cuando una variable se multiplica por una constante y luego se suma a una constante. Cuando se utilizan transformaciones lineales en un conjunto de datos, se transforman todas las variables del conjunto de datos. Por lo tanto, el profesor Shannon quiere cambiar todas las calificaciones de los estudiantes a un valor más alto en el conjunto de datos.

Transformando datos

Podemos transformar los datos en este conjunto de datos usando la siguiente fórmula para transformaciones lineales: a + bx . En este caso, x = el número en el conjunto de datos, a = la constante se suma a la variable yb = la constante se multiplica a la variable.

La mejor manera de averiguar cómo transformar estos datos es mirar la media, 24. El profesor Shannon cree que sería justo que el estudiante promedio obtuviera un 75% en esta prueba. Si el puntaje promedio es 24, entonces podemos usar la fórmula para transformaciones lineales para cambiar el puntaje promedio de 24 a un puntaje promedio de 75 como este: 27 + 2 (24) = 75.

Ahora que tenemos nuestra fórmula, podemos transformar todos los valores en este conjunto de datos. Eche un vistazo a este cuadro a continuación para ver los nuevos valores para el conjunto de datos.

Nuevos datos después de la transformación

Puede notar que el puntaje más alto cambió de 35 a 97, y el puntaje más bajo cambió de 15 a 57. Por lo tanto, con los nuevos puntajes, solo un estudiante reprobó el examen de ciencias. Nuestra nueva media para este conjunto de datos es 75, que es la media que usamos para calcular nuestro puntaje promedio. La desviación estándar de este nuevo conjunto de datos es 14,14, casi exactamente el doble de nuestra desviación estándar original. Eche un vistazo a este gráfico para ver las diferencias entre el primer conjunto de datos y el segundo conjunto de datos:

Gráfico que compara el primer y el segundo conjunto de datos

Esto significa que nuestro conjunto de datos ahora está más extendido. Observe que las formas generales de las dos líneas son similares, pero la línea superior es más inclinada que la línea inferior. Esto se puede explicar mejor si observamos el rango de nuestro conjunto de datos. El rango para nuestro conjunto de datos original fue 35 – 15 = 20. Eso significa que hubo una diferencia de 20 valores entre los números más altos y más bajos en el conjunto de datos. Con el nuevo conjunto de datos, el rango era 97 – 57 = 40. Eso significa que había una diferencia de 40 valores entre los números más altos y más bajos en el conjunto de datos. Dado que nuestro rango se duplicó, eso también explica por qué la desviación estándar casi se duplica.

Ejemplo 2 de transformaciones lineales

La profesora Shannon ahora está enseñando a sus estudiantes cómo convertir temperaturas Celsius en Fahrenheit. Las conversiones son otro ejemplo de transformaciones lineales de un conjunto de datos. Los siguientes números son temperaturas en grados Celsius: 32, 36, 38, 31, 32, 35, 38, 32.

La temperatura media en este conjunto de datos es 34,25 y la desviación estándar es aproximadamente 2,86. Para convertir estas temperaturas, use la siguiente fórmula: F = 1.8 C + 32. Observe que esta fórmula coincide con nuestra fórmula para transformaciones lineales. Tenemos una variable, C , multiplicada por una constante, 1.8, agregada a una constante, 32. Mire este gráfico para ver los nuevos valores para el conjunto de datos:

Gráfico que muestra nuevos valores para el conjunto de datos de temperatura

Para este nuevo conjunto de datos, la media es 93,65 y la desviación estándar es aproximadamente 5,16. Observe que una vez más la media aumentó y la desviación estándar también aumentó. Estos valores siempre aumentarán porque está multiplicando y sumando sus valores originales. ¿Ves cómo los datos se desplazan hacia la derecha? Esto nos muestra cómo ha aumentado el valor de todo el conjunto de datos.

Resumen de la lección

La transformación lineal es cuando una variable se multiplica por una constante y luego se suma a una constante. Cuando se utilizan transformaciones lineales en un conjunto de datos, se transforman todas las variables del conjunto de datos. Cuando usa la transformación lineal en un conjunto de datos, su media y cualquier otra medida del centro aumentará, así como su desviación estándar y cualquier otra medida de dispersión. Esto se debe a que está aumentando sus valores originales de acuerdo con esta fórmula: a + bx , donde x = el número en el conjunto de datos, a = la constante que se agrega a la variable yb = la constante se multiplica a la variable.

Dado que el rango de su conjunto de datos cambiará significativamente, verá un cambio significativo en la desviación estándar del conjunto de datos, dependiendo de la constante que use para b , el número que multiplica por su variable.

Los resultados del aprendizaje

Estudie los puntos principales de esta lección para que pueda:

• Describe una transformación lineal
• Escribe la fórmula de transformaciones lineales para transformar datos
• Trabaje con ejemplos y explique por qué el rango de su conjunto de datos cambiará después de una transformación lineal

Rodrigo Ricardo Editor y fundador