Desigualdades enteras con valores absolutos

Valor absoluto

Esta lección en video se suma a nuestra comprensión y conocimiento del trabajo con valores absolutos. Recuerda que un valor absoluto es la distancia desde 0 de un número. El valor absoluto de cualquier número es siempre igual al número sin signos negativos. Entonces, el valor absoluto de 9 es 9, y el valor absoluto de -9 también es 9. El símbolo del valor absoluto son dos tuberías a cada lado de nuestro número. Entonces | 9 | = 9 y | -9 | = 9.

Desigualdades enteras

En matemáticas, ¿sabes cómo resolvemos ecuaciones como x + 7 = 10 para la variable desconocida? También podemos resolver desigualdades de esa manera, como x + 7 <10. Pero recuerde que, para las desigualdades, obtenemos un rango de números para nuestra respuesta.

Por ejemplo, resolver x + 7 <10 nos da x <3. Entonces, nuestras respuestas incluyen todos los números menores que 3. Lo resolvimos restando el 7 de ambos lados para obtener la x por sí misma. Usamos el mismo proceso que usaríamos para resolver nuestras ecuaciones estándar.

Bueno, ahora podemos introducir desigualdades con valores absolutos. Para resolver este tipo de problemas se utilizan las mismas técnicas que para resolver nuestras ecuaciones y desigualdades, pero tienen algunos giros interesantes. Deja que te enseñe.

Digamos que tenemos este problema.

| x – 1 | <3

El problema parece bastante fácil. Si no tuviéramos el valor absoluto allí, simplemente sumaríamos el 1 a ambos lados para resolver nuestro problema. Bueno, tenemos el valor absoluto allí y tenemos una desigualdad. Debido a que tenemos el valor absoluto allí, necesitamos crear dos problemas para resolver a partir de nuestro uno porque podemos tener dos valores absolutos diferentes que igualen lo mismo. Recuerde | 9 | = 9, pero también | -9 | = 9.

Como tenemos una variable para resolver, escribiremos dos desigualdades sin el valor absoluto. Entonces tenemos ( x – 1) <3 y – ( x – 1) <3. Para la segunda desigualdad, podemos multiplicar por -1 en ambos lados para mover el signo negativo. Recuerde que siempre que multiplique o divida por un negativo en una desigualdad, su signo de desigualdad cambiará.

Entonces ahora tenemos x – 1> -3. Nuestras dos desigualdades ahora son x – 1 <3 y x – 1> -3. Una buena forma de recordar esta parte de la resolución de una desigualdad con un valor absoluto es simplemente recordar establecer dos desigualdades, una exactamente igual a la ecuación inicial pero sin el valor absoluto, y la otra con la desigualdad invertida y el número con signo negativo.

Ahora podemos seguir adelante y terminar de resolver como lo hacemos normalmente. Agregamos 1 a ambos lados de nuestra desigualdad para ambas desigualdades. Obtenemos x <4 y x > -2. Podemos escribir nuestra respuesta final como -2 < x <4.

Ahora, ¿y si nuestro problema tuviera un símbolo mayor que en su lugar?

| x – 1 | > 3

Vamos a resolver este problema de la misma manera que si tuviéramos el símbolo menor que. Creamos dos desigualdades, una igual solo sin el valor absoluto, y la segunda con la desigualdad invertida y el número con signo negativo. Tenemos ( x – 1)> 3 y ( x – 1) <-3. Ahora podemos seguir adelante y resolver cada desigualdad. Agregamos 1 a ambos lados para ambas desigualdades. Obtenemos x > 4 y x <-2. Esta vez, sin embargo, tenemos que escribir nuestra respuesta así: x > 4 O x <-2.

Lo primero que debe tener en cuenta al resolver desigualdades con valores absolutos es que debe crear dos desigualdades para resolver su único problema. Su primera desigualdad es su problema sin el valor absoluto, y su segunda desigualdad es la misma desigualdad pero con la desigualdad invertida y el número con un signo negativo.

Lo segundo que debe tener en cuenta es que, si su problema es menor o menor o igual que, su respuesta se puede escribir como a < x < b , donde a y b son sus dos respuestas. El un número es siempre el número más bajo. Si su problema es mayor o mayor que o igual a, entonces su respuesta serán sus dos respuestas con un OR entre ellas.

La tercera cosa acerca de las desigualdades con valor absoluto es que si alguna vez ves un problema en el que tienes un valor absoluto menor que 0, entonces tu respuesta no será una solución porque tu valor absoluto nunca puede ser menor que 0. Además, si obtienes un problema donde su valor absoluto es mayor que un número negativo, entonces su respuesta será todo x o todos los números reales, porque su valor absoluto siempre será un número positivo y por lo tanto siempre será mayor que un número negativo.

Veamos un par de ejemplos más.

Ejemplo 1

| x + 2 | <5

Comenzamos escribiendo dos desigualdades de nuestro único problema. Obtenemos ( x + 2) <5 y ( x + 2)> -5. Observe que para la segunda desigualdad, la desigualdad se invierte y la parte numérica es negativa. Ahora podemos seguir adelante y resolver ambas desigualdades. Restamos 2 de ambos lados. Obtenemos x <3 y x > -7. Debido a que nuestro problema usa el símbolo menor que, escribimos nuestra respuesta como -7 < x <3.

Ejemplo 2

| x + 100 | <-3

¡Ajá! Este es un problema engañoso. ¿Recuerda la tercera cosa que debemos tener en cuenta? Así es. Si nuestro valor absoluto es menor que 0, automáticamente tendremos una respuesta sin solución.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. El valor absoluto es la distancia desde 0 de un número. La resolución de desigualdades con valores absolutos utiliza las mismas técnicas que la resolución de desigualdades. Recordamos que si dividimos o multiplicamos por un número negativo, entonces nuestra desigualdad cambia.

Comenzar a resolver una desigualdad con valor absoluto es configurar dos desigualdades para resolver. La primera desigualdad será nuestro problema sin el valor absoluto. La segunda desigualdad tendrá el signo de desigualdad invertido y la parte numérica con un signo negativo.

Si nuestro problema es menor o menor que o igual a, entonces nuestra respuesta se puede escribir como a < x < b , donde a es la respuesta más pequeña. Si nuestro problema es mayor o mayor que o igual a, entonces nuestra respuesta serán nuestras dos respuestas con un OR en el medio.

Si vemos un problema con un valor absoluto menor que 0, entonces la respuesta siempre será ninguna solución. Si vemos un problema con el valor absoluto que es mayor que un número negativo, entonces la respuesta será todo x .

Resultado de aprendizaje

Desarrolle su capacidad para resolver una desigualdad que tenga valores absolutos al completar esta lección.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador