Aplicar distribuciones geométricas a las estadísticas

Un experimento de lanzamiento de monedas

Suponga que lanzamos una moneda de dos caras. Además, digamos que la probabilidad de que aparezca una cara en cualquier lanzamiento dado es 0.3, y que los lanzamientos se realizan de forma independiente. Sea X el número de lanzamientos necesarios antes de ver el lado de la cabeza por primera vez. Con esta información, podemos derivar la distribución de X . Por ejemplo, la probabilidad de que X = 4 sea

Esto se debe a que para que ocurra X = 4, es necesario que tengamos tres cruces consecutivos seguidos de una cara en el cuarto lanzamiento. En otras palabras, X = 4 y el resultado TTTH son equivalentes. De manera similar, podemos argumentar que para cualquier a = 1, 2, 3, 4, …..

Por tanto, la distribución de X es la fórmula

De manera más general, si la probabilidad de ver la cabeza es p , entonces la distribución de X es

(1) se conoce como la distribución geométrica con probabilidad de éxito p . En las próximas secciones, estudiamos algunas de las propiedades notables de la distribución geométrica. Luego continuamos con varias aplicaciones prácticas.

Expectativa de una variable aleatoria geométrica

Aquí hay una pregunta que podríamos hacernos con respecto al experimento de lanzamiento de una moneda: En promedio, ¿cuántos lanzamientos se necesitan antes de que aparezca nuestra primera cara? Según nuestra intuición, esto debería depender de la probabilidad de éxito p . Si la probabilidad de que salga una cara es pequeña, entonces debería ser necesario lanzar muchas monedas antes de que aparezca la primera cara. Por otro lado, si la probabilidad de que salga cara es grande, entonces podríamos ver la primera cara en los primeros lanzamientos.

Para confirmar nuestra intuición, derivamos la expectativa de X usando una fórmula para la expectativa de variable aleatoria discreta junto con una serie geométrica . Los dos teoremas que necesitamos se enumeran a continuación.

Primero definimos la expectativa de una variable aleatoria discreta.

Definición: Expectativa de X

Sea X una variable aleatoria discreta. Entonces definimos la expectativa de X como

donde S es el conjunto de todos los valores para X .

A veces, es más conveniente utilizar el siguiente teorema para calcular la expectativa. Como veremos para este caso particular de distribución, el siguiente teorema ahorra una gran cantidad de trabajo.

Teorema: Fórmula de probabilidad de cola para la expectativa

Suponga que X es una variable aleatoria discreta no negativa. Entonces

donde nuevamente, S es el conjunto de todos los valores que X puede asumir.

El segundo resultado que necesitamos se estudia en cálculo y se conoce como el teorema de la serie geométrica :

Teorema: Teorema de la serie geométrica

Para comenzar la base de nuestra derivación, considere el evento

donde a = 1, 2, 3, 4, ….

Si no vemos nuestro primer lanzamiento de cabeza hasta una o más adelante, entonces la primera de una – 1 lanzamientos tenían que ser colas. Por el contrario, si la primera de una – 1 lanzamientos eran colas, a continuación, la primera cabeza no ocurriría antes de lanzar una . En otras palabras, los dos conjuntos son iguales.

Por lo tanto para a = 1, 2, 3, 4, ….,

Ahora, aplicando (3) y (4), llegamos a la fórmula para la expectativa de X :

Entonces, si p = 1/4, entonces, en promedio, se necesitarían cuatro lanzamientos antes de ver cara. Si p = 1/2, en promedio se necesitarían dos, y así sucesivamente. La expectativa está inversamente relacionada con la probabilidad de éxito, y esto concuerda con nuestra intuición.

La distribución geométrica tiene otra propiedad interesante conocida como propiedad sin memoria. Continuamos en la siguiente sección para verlo más de cerca.

Propiedad sin memoria de una variable aleatoria geométrica

Suponga que ya hemos lanzado la moneda más de n veces sin ver cara. Luego preguntamos cuál es la probabilidad condicional de tener que lanzar la moneda m veces más (más allá de n lanzamientos) sin ver una cara. Es decir, buscamos calcular la siguiente probabilidad condicional.

Como recordatorio, la probabilidad condicional de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido se define como

De acuerdo con (5), tenemos que

para m = 1, 2, 3, 4, …., y n = 1, 2, 3, 4, ….

Ahora, recordando nuestro trabajo anterior sobre la expectativa, sabemos que para cualquier a = 1, 2, 3, 4, ….

Aplicando (7) a (6), llegamos a

o

para m = 1, 2, 3, 4, …., y n = 1, 2, 3, 4, ….

(8) se conoce como la propiedad sin memoria . Recibe su nombre del hecho de que la distribución geométrica no tiene memoria del pasado. Se produjeron n lanzamientos y no se vio ninguna cabeza. Ahora el experimento continúa comenzando con el lanzamiento n + 1, pero en el sentido de (8), es como si estuviéramos comenzando desde el lanzamiento uno.

Ahora continuamos nuestra discusión sobre la distribución geométrica con dos ejemplos prácticos que son relevantes para las tres secciones anteriores que se muestran en esta lección.

Ejemplos de distribución geométrica

Ejemplo 1

Supongamos que sacamos una secuencia de cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Cada vez que se saca una carta, la volvemos a poner en el mazo para que cada vez que saquemos, estemos extrayendo del mazo completo. Continuaremos sacando una carta de la baraja hasta que observemos una carta que no es una pala. Suponga que es igualmente probable que se saquen todas las cartas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que necesitemos al menos tres proyectos antes de ver una carta que tiene un palo que no es una espada?

segundo. Sea X el número de cartas robadas hasta que veamos un palo que no sea de espada. ¿Cuál es la expectativa de X ?

Solución

a. Hay cuatro palos: corazones, tréboles, diamantes y espadas. Suponiendo que las cartas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas, la proporción de cartas que no son espadas es 3/4. La declaración equivalente de tomar al menos tres sorteos aquí es ver una espada en los dos primeros sorteos. Asi que, por lo tanto,

segundo. Reconozca que la probabilidad de éxito es p = 3/4, lo que significa que la distribución de X es

La expectativa de X es

Ejemplo 2

Un fármaco tiene una eficacia del 99% en cualquier paciente. Los pacientes toman los medicamentos de forma independiente unos de otros. Cuando el medicamento no cura a un paciente por primera vez, se debe volver a retirar el medicamento. Suponga que cada día, dos pacientes prueban el medicamento.

a. Derive la distribución para X , el número de pacientes que tomaron el medicamento antes de que se retirara del mercado.

segundo. Con (a), calcule la probabilidad de que al menos 100 pacientes tomaran el medicamento antes de que se retirara del mercado.

C. Suponga que más de 50 pacientes tomaron el medicamento y aún no se ha retirado del mercado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 pacientes hayan tomado el medicamento antes de que se retire del mercado?

re. Sea Y el número de días antes de que se retire el medicamento. Calcular la expectativa de Y .

Solución

a. El éxito es cuando el fármaco no logra curar a un paciente, y esto sucede con una probabilidad de 0.01. Por lo tanto, la distribución de X es

segundo. De (a), esto es

C. Usando la fórmula de probabilidad condicional, esto es

re. Dado que cada día dos pacientes prueban el medicamento, hay el doble de pacientes que de días. Es decir, X = 2 Y . Por la linealidad de la expectativa,

Entonces, en promedio, tomará 50 días antes de que se retire este medicamento.

Resumen

La distribución geométrica surge de ensayos repetidos que tienen dos resultados. Los ensayos se repiten hasta que se produce el éxito deseado, y el número de ensayos necesarios para que se produzca el éxito tiene la distribución geométrica.

La probabilidad de éxito está inversamente relacionada con el número esperado de ensayos hasta el éxito. Si la probabilidad de éxito es pequeña, esperaríamos muchas pruebas antes de ver un éxito, y si la probabilidad de éxito es grande, esperaríamos pocas pruebas antes de que ocurra el éxito.

La distribución geométrica es una distribución discreta que tiene la propiedad sin memoria . Esencialmente, el experimento comienza de nuevo y no tiene memoria del pasado. Dado que hemos lanzado una moneda al menos n + 1 veces, la probabilidad de tener que lanzar al menos n + m veces es la misma que sería para lanzar al menos m veces comenzando desde cero.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador