Sucesiones Geométricas: Fórmula y ejemplos

¿Qué es una sucesión geométrica?

Una secuencia es una lista de números en un orden particular. Cada número en la sucesión se llama término de la sucesión. Por ejemplo, {eq}1, 3, 5, 7, … {/eq} es la secuencia de números impares. El primer término de la secuencia es 1 y se puede representar con la notación {eq}u_1=1 {/eq}, el segundo término es {eq}u_2=3 {/eq}, el tercer término es {eq}u_3 =5 {/eq} y así sucesivamente. La notación {eq}u_1, u_2, u_3, …u_n,… {/eq} es más útil que decir, por ejemplo, {eq}a,b,c,d,…. {/eq} como puede haber una cantidad infinita de términos y también debido a que es una lista ordenada de números, la notación {eq}u_n {/eq} permite identificar rápidamente cada término y su ubicación en el orden. La notación {eq}u_n {/eq} se denomina término general, o fórmula explícita, de la sucesión, o {eq}nésimo {/eq} término de la sucesión. En este caso, {eq}u_n=2n-1 {/eq} y sustituyendo los valores de {eq}n {/eq} se puede encontrar cualquier término de la secuencia. Por ejemplo, el vigésimo término de la sucesión es {eq}u_{20}=2(20)-1=39 {/eq}. Los términos de una secuencia se pueden escribir usando la relación entre términos consecutivos. Por ejemplo, en la secuencia de números impares, cada término es 2 más que el término anterior. que podría escribirse como {eq}u_n=u_{n-1}+2 {/eq}. Si la regla se da usando la relación entre términos, entonces se llama fórmula recursiva o regla de término a término. que podría escribirse como {eq}u_n=u_{n-1}+2 {/eq}. Si la regla se da usando la relación entre términos, entonces se llama fórmula recursiva o regla de término a término. que podría escribirse como {eq}u_n=u_{n-1}+2 {/eq}. Si la regla se da usando la relación entre términos, entonces se llama fórmula recursiva o regla de término a término.

¿Qué es una sucesión geométrica ? Cuando la razón de términos consecutivos de una sucesión tiene una razón común entonces es una sucesión geométrica . En otras palabras, cada término se encuentra multiplicando el término anterior con un número constante llamado razón común. Por ejemplo, si el primer término de una sucesión geométrica es 4 y la razón común es 3, entonces cada término de la sucesión podría hallarse multiplicando el término anterior por 3.

{eq}\begin{matriz} u_1=4 \\ u_2=4 \cdot 3=12 \\ u_3=4 \cdot 3 \cdot 3=36 \\ u_4=4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =108 \\ \\ \end{matriz} {/eq}.

Siguiendo el patrón, el término general podría escribirse como {eq}u_n=4 \cdot 3^{n-1} {/eq}.

Entonces la secuencia es {eq}4,12,36,108,… {/eq}.

Fórmula de secuencia geométrica

Como la secuencia geométrica se forma multiplicando el término anterior por un número constante, entonces la ecuación de la secuencia geométrica es

{eq}a_n=a_1 \cdot r^{n-1}, , r \neq 1 {/eq}

donde {eq}a_1 {/eq} es el primer término y {eq}r {/eq} es la razón común. Usando la regla general, cada término de la sucesión se puede encontrar sustituyendo valores en la fórmula.

Cómo encontrar la razón común de una secuencia geométrica

Como cada término se encuentra multiplicando el término anterior por la razón común {eq}r {/eq}, la razón común se puede encontrar usando la razón de dos términos consecutivos que es

{eq}r=\dfrac{a_n}{a_{n-1}} {/eq}.

fórmula de la serie geométrica

Cuando se suman los términos de una secuencia geométrica, se le llama serie geométrica. Si {eq}a_n=a_1 \cdot r^{n-1} , r \neq 1 {/eq} entonces la suma de los primeros {eq}n {/eq} términos de la secuencia se puede encontrar usando la fórmula

{eq}S_n=a_1 \cdot \left ( \dfrac{1-r^{n}}{1-r} \right ) {/eq}.

Reglas para sucesiones geométricas

Considere la secuencia geométrica {eq}4, 2, \frac {1}{2}, \frac {1}{4},… {/eq}. El primer término es {eq}a_1=4 {/eq} y la razón común es {eq}r=\dfrac {a_2}{a_1}=\dfrac {2}{4}=\dfrac {1}{2} {/eq}. Por lo tanto, usando la regla general para la secuencia geométrica {eq}a_n=a_1 \cdot r^{n-1} {/eq} se puede concluir que la regla general es {eq}a_n=4 \cdot \left ( \ dfrac {1}{2} \right )^{n-1} {/eq}. Usando la fórmula general, cualquier término de la secuencia se puede encontrar rápidamente.

Los pasos para escribir la fórmula general de una sucesión geométrica son

1. encuentra la razón común usando dos términos consecutivos {eq}r=\dfrac{a_n}{a_{n-1}} {/eq} o la regla general para dos términos de la secuencia

1. Encuentra el primer término
2. Escribe la formula general
3. Pruebe la fórmula sustituyendo un valor por {eq}n {/eq} para asegurarse de que la fórmula sea correcta.

Ejemplos de secuencias geométricas

A continuación se muestran algunos ejemplos de secuencias geométricas .

Ejemplo 1:

{eq}42, 14, \frac{14}{3},… {/eq}

Encuentra {eq}r {/eq} usando la razón de términos consecutivos {eq}r=\frac {14}{42}=\frac {1}{3} {/eq}

• el primer término es {eq}u_1=42 {/eq}.

Por lo tanto, la regla general de la sucesión es {eq}u_n=u_1 \cdot \left (\frac {1}{3} \right )^{n-1} {/eq}.

Prueba la fórmula para {eq}n=3 \Rightarrow u_3=42 \cdot \left ( \frac {1}{3} \right)^2 = \frac{14}{3} {/eq}.

Por lo tanto, la regla general para la sucesión geométrica es {eq}u_n=u_1 \cdot \left (\frac {1}{3} \right )^{n-1} {/eq}.

Ejemplo 2:

2, -4, 8, -16, …

• Encuentra la razón común: {eq}r=\frac {8}{-4}=-2 {/eq}
• El primer término es {eq}a_1=2 {/eq}
• La regla general es {eq}a_n=2 \cdot \left ( -2 \right)^{n-1} {/eq}

Pruebe la regla para {eq}n=2 \Rightarrow a_2 = 2 \cdot \left ( -2 \right)^1 = -4 {/eq}.

Por lo tanto, la regla general para la secuencia es {eq}a_n=2 \cdot \left ( -2 \right)^{n-1} {/eq}

Resumen de la lección

Una lista ordenada de números se llama secuencia. Si la relación entre términos consecutivos se define como que cada término se forma multiplicando el término anterior por un número constante, entonces la secuencia se llama secuencia geométrica . El número constante se llama razón común de la secuencia ya que la razón de dos términos consecutivos es igual a este número

Algunos ejemplos de secuencias geométricas son

• {eq}1, 5, 25, 125, …. {/eq} donde cada término se forma multiplicando el término anterior por 5. Por lo tanto, la razón común es 5.
• {eq}3, -\frac {3}{4}, \frac {3}{16}, -\frac {3}{64}… {/eq} donde cada término se forma multiplicando el término anterior por {eq}-\frac {1}{4} {/eq}. Por lo tanto, la razón común es {eq}r=-\frac {1}{4} {/eq}.

¿Qué es una sucesión geométrica? Cuando existe una razón constante entre los términos consecutivos de una sucesión, se le llama sucesión geométrica. La fórmula de la secuencia geométrica es

{eq}a_n=a_1 \cdot r^{n-1} , r \neq 1 {/eq} donde {eq}a_1 {/eq} es el primer término y {eq}r {/eq} es la razón común .

Cómo encontrar la razón común de una secuencia geométrica :

Por definición, una razón común es la razón de dos términos consecutivos de una secuencia geométrica. Por lo tanto, {eq}r=\dfrac{a_n}{a_{n-1}} {/eq}. Por ejemplo, en la sucesión {eq}1, 5, 25, 125, …. {/eq} la razón común es {eq}r=\frac {5}{1}=\frac {25}{5 }=\frac{125}{25}=5 {/eq}.

Usando la ecuación de secuencia geométrica, cualquier término de la secuencia se puede encontrar fácilmente. Por ejemplo, si el primer término de una sucesión geométrica es 5 y la razón común es -0,2, entonces el décimo término de la sucesión es {eq}u_10=5 \cdot {-0,2}^9=-0,00000256 {/eq} .

Cuando se suman los términos de una secuencia geométrica, se le llama serie geométrica. La suma de los primeros {eq}n {/eq} términos de una secuencia geométrica se encuentra usando la fórmula de la serie geométrica {eq}S_n=a_1 \cdot \left ( \dfrac{1-r^{n}}{1- r} \derecho) {/eq}.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador