Aritmética modular: ejemplos y problemas de práctica

Aritmética modular

La práctica hace la perfección, y de eso se trata exactamente esta lección; práctica en aritmética modular. La aritmética modular a veces se llama aritmética de reloj, porque las reglas de la aritmética modular son las mismas reglas que se aplican para decir la hora. En un reloj, hay 12 horas, y una vez que llegas a las 12:00, la siguiente hora comienza de nuevo a la 1:00. En aritmética modular, 12 se llamaría módulo , y es el número en el que comenzamos de nuevo.

Como repaso rápido, r mod n es igual al resto cuando dividimos r entre n . La suma, resta y multiplicación en aritmética modular obedecen a dos reglas básicas.

1. Si a + b = c , entonces ( a + b ) mod n es congruente con c mod n .
2. Si un mod n es congruente con d mod n y b mod n es congruente con e mod n , entonces ( a + b ) mod n es congruente con d mod n + e mod n .

En cada una de estas reglas, el signo más se puede reemplazar por un signo de resta o multiplicación. Estas reglas establecen que primero podemos realizar la operación y luego encontrar ese número mod n , o podemos encontrar cada uno de los números mod n y luego realizar la operación en ellos. Es importante tener en cuenta que cuando se trata de restar, es posible que obtenga números negativos. Cuando esto sucede, agrega múltiplos del módulo n hasta obtener un número entre 0 y n – 1. Esto se demuestra en nuestro segundo ejemplo. Estas reglas son mucho más fáciles de ver en acción, así que veamos ahora un par de ejemplos para hacer que estas reglas sean un poco menos confusas.

Ejemplos básicos

Usa las reglas de la aritmética modular para resolver los siguientes problemas.

1.) Como en nuestro ejemplo de reloj inicial, trabajemos en el módulo 12. Supongamos que son las 7:00 y queremos saber qué hora serán dentro de 10 horas.

Solución:

Básicamente, esto nos pide que busquemos (7 + 10) mod12. Para realizar esta operación, primero agregamos 7 + 10 para obtener 17, por lo que (7 + 10) mod12 es congruente con 17mod12. A continuación, encontramos 17mod12. Para encontrar 17mod12, hallamos el resto cuando 17 se divide entre 12, que es 5. Por lo tanto, (7 + 10) mod12 es congruente con 5mod12. Esto nos dice que si son las 7:00, luego dentro de 10 horas, serán las 5:00. La siguiente imagen muestra el trabajo que se describe en una bonita forma compacta.

Trabajar para el ejemplo 1

2.) Trabajando en módulo 5, encuentre (73 – 64) mod5.

Solución:

Si primero restamos, tenemos 73 – 64 = 9, entonces (73 – 64) mod5 es congruente con 9mod5. Ahora solo necesitamos encontrar el resto cuando 9 se divide entre 5, que es 4. Por lo tanto, (73 – 64) mod5 es congruente con 4mod5.

También podemos encontrar primero que 73mod5 es congruente con 3mod5 y que 64mod5 es congruente con 4mod5. Según nuestras reglas, tenemos que (73 – 64) mod5 es congruente con 3mod5 – 4mod5 que es congruente con -1mod5. Tenemos un número negativo, así que sumamos múltiplos de 5 hasta obtener un número entre 0 y 4. Si sumamos 5 a -1, obtenemos 4, que cae en nuestro rango, así que esta es nuestra respuesta. Vemos que una vez más, obtenemos que (73 – 64) mod5 es congruente con 4mod5.

Todo el trabajo se demuestra en la siguiente imagen.

Trabajar para el ejemplo 2

3.) Trabajando en módulo 17, encuentre (18 * 20) mod17.

Solución:

Si realizamos la multiplicación primero, obtenemos 18 * 20 = 360, entonces (18 * 20) mod17 es congruente con 360mod17. El resto cuando dividimos 360 entre 17 es 3, por lo que 360mod17 es congruente con 3mod17. Por lo tanto, (18 * 20) mod17 es congruente con 3mod17.

Observe que 18mod17 es congruente con 1mod17 y 20mod17 es congruente con 3mod17. Por lo tanto, (18 * 20) mod17 es congruente con (1mod17) * (3mod17) que es congruente con 3mod17. Tenemos que (18 * 20) mod17 es congruente con 3mod17. El trabajo, como se describe para este problema, se muestra en la siguiente imagen.

Trabajar para el ejemplo 3

Solicitud

Es posible que se pregunte cuándo usaría esto si no fuera para decir la hora. En realidad, la aritmética modular aparece con bastante frecuencia en el mundo que nos rodea, aunque no nos demos cuenta. Suponga que está ayudando a planificar la boda de un amigo. Tienes 14 cajas de bombones de boda con 23 bombones en cada caja. Tu amigo quiere repartir cajitas de 4 bombones cada una a sus invitados, y dijo que puedes quedarte con los bombones sobrantes como agradecimiento por tu ayuda. Una vez que haya hecho tantas cajitas de 4 chocolates como sea posible con los chocolates que tiene, ¿cuántos chocolates le sobran para usted?

Este es en realidad un problema aritmético modular. Observe que el problema es pedir el resto cuando 14 * 23 se divide entre 4. Es decir, estamos buscando (14 * 23) mod4. Si realizamos la multiplicación, tenemos 14 * 23 = 322, entonces según nuestras reglas, (14 * 23) mod4 es congruente con 322mod4. Para encontrar 322mod4, encontramos el resto cuando 322 se divide entre 4, que es 2. Por lo tanto, (14 * 23) mod4 es congruente con 2mod4, lo que significa que puedes disfrutar de 2 chocolates como recompensa por tus esfuerzos.

Resumen de la lección

La aritmética modular es una herramienta útil en matemáticas. Al sumar, restar o multiplicar en aritmética modular, primero podemos realizar la operación y luego encontrar ese número en el módulo dado, o podemos encontrar cada número en el módulo dado y luego realizar la operación. Como hemos visto en los ejemplos y la práctica de esta lección, de cualquier manera se obtiene la misma respuesta. Aunque la aritmética modular es mejor conocida por su uso para decir la hora, también la usamos en muchas otras circunstancias. La práctica de esta lección nos ha ayudado a familiarizarnos más con este concepto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador