Atracción gravitacional de cuerpos extendidos

¿Qué es un cuerpo extendido?

En otra lección, presentamos la Ley de gravitación universal de Newton . Esta ley dice que todos los cuerpos del universo atraen a todos los demás con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Está representado por esta ecuación: F g = GMm / r ^ 2. Significa que si duplica la masa de un objeto, duplica la fuerza gravitacional, y si duplica la distancia entre dos objetos, reduce la fuerza a una cuarta parte de lo que era.

Pero esta ley, como todas las leyes de la física, hace ciertas suposiciones. El mayor de ellos es que un cuerpo gravitacional puede tratarse como una masa puntual, o en otras palabras, se puede decir que la fuerza de gravedad actúa en un punto específico, generalmente en el centro del objeto. Resulta que si estás mirando objetos esféricos, como planetas o estrellas, esta suposición es excelente. Funciona muy bien. Pero no todos los objetos son esféricos o incluso casi esféricos. ¿Qué sucede cuando la forma es completamente aleatoria?

Bueno, en ese caso, se dice que el objeto es un ‘objeto extendido’. De repente, la ley de la gravitación no funciona tan bien y las cosas se complican mucho más. En esta lección, exploraremos un ejemplo particular de un objeto extendido y usaremos el cálculo para encontrar una ecuación que funcione.

Ecuación de atracción gravitacional

Cuando analizas un objeto extendido, necesitas usar algo de cálculo. La ecuación de gravitación final que obtenga variará según la forma del objeto. La forma que veremos hoy es una barra cuboide uniforme: un objeto largo, delgado y con forma de barra. Y veremos la fuerza gravitacional entre esa barra y una masa puntual regular, M , que está cerca.

Pondremos la barra a lo largo de un eje y diremos que la barra comienza en la coordenada ( a , 0) y termina en la coordenada ( L + a , 0), donde L es la longitud de la barra. La forma en que resolvemos este problema es observando la fuerza de gravedad creada por un elemento diminuto de la barra, al que llamaremos dm (una masa infinitesimalmente pequeña). Al sumar todas las fuerzas de todos los elementos de masa diminutos que componen la barra utilizando el cálculo, podemos calcular la fuerza total.

La ecuación regular para una masa puntual, la Ley de Gravitación Universal de Newton, se ve así.

Aquí, G es la constante gravitacional del universo, que siempre es 6,67 * 10 ^ -11; F es la fuerza de gravedad entre los objetos, medida en newtons; M es la masa de la masa puntual a la izquierda del diagrama; y r es el radio o distancia, se encuentra lejos de la masa, M . Esta ecuación contiene m , que normalmente sería una segunda masa puntual. Pero esta vez tenemos una barra, así que reemplazaremos esa masa más pequeña, m , con nuestro pequeño elemento de masa, dm . Esto se debe a que, después de todo, cada pequeño elemento de masa actúa como una masa puntual.

El dm hace que esta sea una ecuación diferencial. Entonces, esta ecuación ahora dice que F es igual a la integral de GM multiplicado por 1 sobre r ^ 2, dm . Pero, ¿cuáles son los límites de esta integral? Bueno, estamos viendo elementos de masa de un lado de la barra al otro: desde un radio de a hasta un radio de L + a , entonces, esos son nuestros límites.

Ahora necesitamos resolver esta integral. El único problema es que tenemos una ecuación en términos del radio r , y se nos pide que integremos con respecto a m . Eso no va a funcionar. Deben ser la misma variable. Entonces, el truco que podemos usar aquí es definir un nuevo término, lambda, que es la masa por unidad de longitud o la masa por unidad de radio, si lo desea. Es la masa dividida por el radio r , o en términos de cálculo, es dm sobre dr . Reorganizando esto para dm , vemos que dm es igual a lambda dr . Podemos sustituir eso en nuestra integral, y ahora tenemos una integral que se puede resolver.

La integral de 1 sobre r ‘al cuadrado, con respecto a r , sale como 1 negativo sobre r . Suplente en nuestros límites de L + una y una , y simplificar un poco, y tenemos nuestra ecuación para la atracción gravitatoria de la barra, con la apariencia siguiente:

Ecuación de atracción gravitacional

Finalmente, para hacerlo un poco más simple, podemos recordarnos qué significa lambda. Lambda es la masa por unidad de longitud. Entonces, lambda por L es la masa por unidad de longitud multiplicada por la longitud de la barra. Entonces, esa es solo la masa de la barra, m . Entonces, ahora sustituyendo eso en, tenemos nuestra ecuación final: F = GMm / a ( L + a ).

La fuerza de gravedad entre la barra y la masa puntual M es igual a G multiplicado por M multiplicado por m dividido por un paréntesis L más a . Solo como recordatorio, M es la masa de la masa puntual a la izquierda del diagrama, m es la masa de la barra, a es la distancia desde la masa puntual hasta el lado cercano de la barra y L es la longitud de la barra .

Problema de ejemplo

Veamos un ejemplo de cómo usar la ecuación: una barra de metal sobrante de un experimento completado en el espacio está flotando a una distancia del sol. Suponga que el sol puede tratarse como una masa puntual. Si la masa de la barra de metal es 100.000 kilogramos, la masa del sol es 2 * 10 ^ 30 kilogramos, la distancia al lado cercano de la barra desde el sol es 500.000 metros y la longitud de la barra es 500 metros, ¿cuál es la fuerza de gravedad entre el sol y la barra?

En primer lugar, debemos escribir lo que sabemos. La masa de la barra de metal, m , es de 100.000 kilogramos; la masa del sol, M , es 2 * 10 ^ 30 kilogramos; la distancia al lado cercano de la barra, a , es de 500.000 metros; y la longitud de la barra, L , es de 500 metros. G , como siempre, es de 6.67 * 10 ^ -11, y se nos pide que encontrar la fuerza de la gravedad, F .

Entonces, todo lo que tenemos que hacer es insertar números y resolver. Escríbalo todo en una calculadora y obtenemos una fuerza de gravedad de 53.306.693.306.693 newton. O, si lo prefiere, 5.3 * 10 ^ 13 newtons. Eso es un poco más ordenado. Para ser justos, esa enorme fuerza tiene menos que ver con la barra y más con lo grande que es el sol. Pero lo importante es que sabes cómo usar la ecuación, ¡y ahora lo sabes!

Resumen de la lección

La ley de Newton de la gravitación universal dice que todos los cuerpos del universo atraen a todos los demás con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Está representado por esta ecuación: F g = GMm / r ^ 2. Pero esta ley hace ciertas suposiciones, incluido que un cuerpo gravitacional puede tratarse como una masa puntual. Esto funciona bien para objetos esféricos, pero si la forma no es esférica, necesitamos un tratamiento más complejo. Se dice que tal objeto es un «objeto extendido». Para tal objeto, necesitamos utilizar el cálculo para encontrar una ecuación que describa la fuerza de gravedad. Esa ecuación variará según la forma del objeto.

Cuando usa el cálculo para calcular la fuerza entre una masa puntual y una barra larga y delgada, esta es la ecuación que surge: F = GMm / a ( L + a ). Dice que la fuerza de gravedad entre la barra y la masa puntual M es igual a G multiplicado por M multiplicado por m dividido por un paréntesis L más a . En esta ecuación, M es la masa de la masa puntual a la izquierda del diagrama, m es la masa de la barra, a es la distancia desde la masa puntual hasta el lado cercano de la barra y L es la longitud de la barra.

Los resultados del aprendizaje

Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Describir la ley de Newton de la gravitación universal e identificar su ecuación.
• Definir objeto extendido
• Recuerde la ecuación para la fuerza entre una masa puntual y una barra larga y delgada
• Explica cómo se usa el cálculo para llegar a esta ecuación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador