Definición de valores propios
Al mirar una bellota, ¿ves un árbol? Probablemente no. Sin embargo, una bellota contiene la información genética de un árbol. Una bellota es como un valor propio , que condensa la información en una matriz. Usemos algunos ejemplos para explorar la definición y las propiedades de los valores propios.
Alguna información de la matriz
Para mantener las cosas manejables, los ejemplos que usaremos serán matrices que tienen un máximo de 2 filas y 2 columnas (pero los conceptos se pueden extender para matrices más grandes). Puedes ver nuestra matriz de muestra:
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Comencemos con la diagonal principal , que comienza en la parte superior izquierda y va hacia la parte inferior derecha de la matriz. Los números de la diagonal principal de A son -5 y 4. La traza es la suma de los números de la diagonal principal. La traza de A es -5 + 4 = -1. ¿Hasta aquí todo bien?
Arrhenius: conceptos y propiedades de ácidos y bases
En general, si nuestra matriz 2×2 tuviera letras en lugar de números, podríamos escribir algunas fórmulas para el determinante , un número útil que se calcula a partir de las entradas en una matriz. Una matriz genérica podría verse como esta:
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Para encontrar el factor determinante, que se multiplican a veces D y restamos el producto de b veces c . Como fórmula, el determinante = ad – bc . Esto funciona para matrices 2×2. El determinante de A es -5 (4) – (-7) 2 = -20 + 14 = -6.
Una matriz m x1 (es decir, m filas y 1 columna) se denomina vector columna . En general, multiplicar una matriz de 2×2 por un vector de columna de 2×1 se ve así:
¿Cuáles son las Propiedades de la Materia?
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Para practicar, multipliquemos A por el vector (1 -1):
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Errores comunes al Invertir en Propiedades
¡Este vector fue especial! Cuando multiplicamos este vector por la matriz A , obtenemos el vector de regreso, aunque está escalado por un número. Este vector se llama autovector de A y el número de escala es un autovalor asociado con el autovector. ¿Recuerdas cómo una bellota es información de árbol condensada? Bueno, cuando tenemos dos valores propios distintos y sus vectores propios asociados para una matriz de 2×2, podemos reconstruir la matriz. ¡Cuan genial es eso!
Encontrar valores propios
¿Recuerda lo que sucedió cuando multiplicamos la matriz A con un vector propio de A ? El autovector no se modificó excepto por un factor de escala. Si hubiéramos multiplicado cualquier otro vector por A , el vector habría cambiado. Son solo estos vectores propios especiales los que siguen siendo los mismos. Una ecuación que resume esto es Av = λ v donde λ es el valor propio asociado con el vector propio v .
Para encontrar los valores propios, tomamos el determinante de A – λ I , establecemos este resultado en cero y resolvemos los valores propios λ. I representa la matriz de identidad , que tiene 1 a lo largo de la diagonal principal y 0 en todas partes. Antes de usar esta idea de determinante igual a cero, es posible que se pregunte de dónde viene esto.
De acuerdo, λ v es lo mismo que λ Iv . Entonces, Av = λ v es lo mismo que Av = λ Iv . Entonces, Av – λ Iv = 0 o ( A – λ I ) v = 0. ¡Genial! Queremos encontrar autovectores v y autovalores λ. Esta última ecuación es verdadera si v = 0, pero tener un vector igual a cero no es interesante. Queremos soluciones para v que no sean iguales a 0. Ahora, A – λ I es una matriz. ¿Qué pasa si un – λ que tenía una inversa? Entonces,
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Sabemos ( A – λ I ) v = 0. ¿Qué pasa si multiplicamos ambos lados de esta ecuación por la inversa de ( A – λ I )? El lado izquierdo sería una matriz multiplicada por su inversa, que es la matriz identidad I , que multiplica el vector v . El lado derecho sería una matriz multiplicada por 0, que es 0.
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Es mucho trabajo demostrar que si A – λ I tiene una inversa, entonces v es cero. Pero no permitimos que v sea 0, lo que significa que A – λ ¡ No debo tener una inversa!
Encontrar la inversa de una matriz implica dividir por el determinante de la matriz. No podemos hacer esta división si el determinante es cero. En otras palabras, A – λ I no tiene una inversa siempre que el determinante de A – λ I sea, de hecho, cero. Y es por eso que estableceremos el determinante de ( A – λ I ) igual a 0. Bien, ¿qué tal un ejemplo de encontrar valores propios?
Encontremos los valores propios de nuestra matriz A. Construimos el A – λ I :
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Luego establecemos el determinante de A – λ I igual a cero. ¿Recuerda cómo encontrar el determinante de una matriz de 2×2?
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El determinante de A – λ I igual a cero nos da lo que se llama la ecuación característica:
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Resolver para λ nos da los valores propios. Factorizar da (λ + 3) (λ – 2) = 0. Entonces, λ = -3 y λ = 2 son los valores propios.
Propiedades de valores propios
Así como las propiedades de las bellotas son de interés para las ardillas, estamos interesados en algunas de las propiedades interesantes de los valores propios.
Primero, la traza de A es la suma de los valores propios. Desde antes, la traza de A es -5 + 4 = -1. La suma de los valores propios es -3 + 2 = -1. ¡Cheque!
Segundo hecho, el determinante de A es el producto de los valores propios. De antes, el determinante de A = -5 (4) – (-7) 2 = -6. El producto de los valores propios es -3 (2) = -6. ¡Revisar otra vez!
¡Las ardillas estarían orgullosas!
Resumen de la lección
Revisemos…
Cuando una matriz multiplica uno de sus autovectores, el autovector no cambia excepto por un factor de escala. El factor de escala se llama valor propio , o lo que condensa la información en una matriz. Para encontrar los valores propios, resolvemos la ecuación característica. El determinante , un número útil que se calcula a partir de las entradas en una matriz, y la traza , o la suma de los números en la diagonal principal, de la matriz se pueden utilizar para verificar numéricamente los valores propios. Recuerde que la diagonal principal , la parte más básica de todo esto, comienza en la parte superior izquierda y va hacia la parte inferior derecha de la matriz.
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