Revisión rápida de la integral definida
Repasemos lo que sabemos sobre integrales. La integral definida de f (x) en algún intervalo desde x = a hasta x = b se escribe como la integral desde a hasta b de f (x) dx . Aquí, f (x) es nuestro integrando y x es nuestra variable de integración. Esto también se puede escribir como una suma de Riemann. Tomamos nuestra f (x) entre un y b , y cortarlo en rodajas muy finas y calculamos el área de cada una de esas porciones. Escribimos eso como el límite como delta ( x) va a cero (a medida que los cortes se vuelven infinitamente delgados) de la suma de k = 1 an (cada corte) de f (x) en ese corte (la altura) multiplicado por delta ( x ) de ese corte (el ancho).
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Una aplicación de la integral definida es encontrar el área de una propiedad. Otra aplicación es encontrar la distancia que puede haber recorrido. Digamos que tiene su velocidad en función del tiempo. La distancia que ha recorrido es el área debajo de la curva. Necesita encontrar el área de la curva y descubrirá exactamente qué tan lejos ha llegado durante un período de tiempo.
Primer ejemplo: formas trapezoidales específicas
Veamos un ejemplo realmente específico. Digamos que te diriges a la ciudad y en t = 0 vas a 30 mph. Tu velocidad disminuye linealmente (es decir, es una línea recta), de modo que una hora en ( t = 1), solo vas a 20 mph. Digamos que se está golpeando con el tráfico cuando ingresa a la ciudad.
Puedo graficar esto como velocidad en función del tiempo entre t = 0 y t = 1 donde la función es f (t) = 30 – 10 t . No es necesario que sepa de dónde proviene esta ecuación; Di que te lo han dado. Entonces, en t = 0, su velocidad es de 30 mph, y en t = 1 su velocidad es de 20 mph. Para saber qué tan lejos ha llegado en esa hora, lo que queremos hacer es tomar la integral de t = 0 a t = 1 de (30 – 10 t ) dt . Entonces estamos integrando su velocidad durante este período de tiempo.
Si miro esto, esto es solo un trapezoide. Si quiero encontrar el área debajo de la curva, es decir, la integral, puedo usar lo que sé sobre geometría y resolver el área de un trapezoide. El área de un trapezoide será ( f ( t izquierda) + f ( t derecha)) / 2 * delta ( t ). ¿Cuál es nuestra altura en el lado izquierdo? Eso es f (t) en el límite izquierdo. Entonces eso es f ( t = 0).
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Conectemos eso: (30 – 10 (0)) + 30 – 10 (1) / 2 * delta ( t ). Simplificado obtenemos (30 + 20) / 2 * delta ( t ). Delta ( t ) es el cambio en el tiempo (recuerde que el delta es el cambio), por lo que el cambio en el tiempo es 1 – 0 o 1 hora. Paso de 0 horas a 1 hora, por lo que mi delta ( t ) es 1. Si conecto todos esos en mi fórmula trapezoidal, obtengo (30 + 20) / 2 * 1 = 25. Entonces, he pasado 25 millas en una hora.
Ejemplo 2: formas trapezoidales generales
Tratemos de generalizar un poco esto. Vamos a decir que tenemos la función y = x , y queremos encontrar el área bajo la curva entre x = una y x = b . Eso es sólo escribir la integral de una a b de xdx . Nuevamente, debido a que y = x es una línea recta, esto es solo un trapezoide de lado. Sé que el área es el ancho de un lado más el ancho del otro dividido por 2 veces la altura. Entonces, para el ancho en el lado izquierdo, tengo el valor de mi función en x = a . El ancho en el otro es f (b). Divido eso entre 2, y mi altura es este cambio en x , entonces eso es b – a.
Debido a que mi función es igual ax , entonces si evalúo f en x = a , obtengo a , y f (b) es simplemente b . Vamos a conectarlos. Sé que mi integral ahora es el área bajo la curva, que es ( a + b ) / 2 * ( b – a ). Si multiplico esto, obtengo ( b ^ 2 – a ^ 2) / 2. Esta fórmula es válida ahora para cualquier valor de una y b . Siempre que mi función sea x , y voy de a a b, Sé que el área bajo la curva, esta integral, es igual a ( b ^ 2 – a ^ 2) / 2.
Ejemplo 3: rectángulos
¿Qué tal un caso más simple? Digamos que mi velocidad, o mi función, es constante, c . Tengo una gráfica de y = c desde x = a hasta x = b . La integral de una a b de cdx es el área bajo esta curva. Eso es solo un rectángulo, entonces sé que el área es la altura por el ancho. El ancho es b – a , el cambio en x , y mi altura es c , porque en todas partes a lo largo de la línea y es igual a c .
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Si inserto números, digamos que voy a 7 mph durante 10 horas, estoy integrando 7 de 0 a 10. Escribo la integral de x = 0 ax = 10 de 7 dx . Si uso mi fórmula para integrar una constante, encuentro que la integral de 0 a 10 de 7 dx es solo (10 – 0) 7, que es solo 70. Eso tiene mucho sentido porque solo tengo un rectángulo con el altura de 7 y la anchura de 10.
Resumen de la lección
Estas son formas simples y, ciertamente, no todas las funciones serán formas simples de las que conozca la geometría y cómo encontrar el área. Para formas como esta, puede calcular la integral definida exactamente. Recuerde que la integral definida es el área bajo la curva, que es la integral de a a b de f (x) dx .
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