Cálculo de derivadas de ecuaciones polinomiales

Reglas básicas

La pendiente aquí es 1 y se puede calcular en cualquier lugar a lo largo de la línea

Echemos un vistazo a Super C, la bala de cañón humana, y veamos su altura en función del tiempo. Sabemos que podemos encontrar su velocidad vertical , o cuánto cambia su altura en función del tiempo, tomando la derivada de su altura. Podemos tomar este límite formalmente usando la fórmula h ‘(t) = el límite cuando delta t se acerca a cero de ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t .

Pero hay una forma más fácil, así que hablemos de tomar los límites de potencias y polinomios. Estos son potencias, como f (x) = x ^ 6, y polinomios, como f (x) = 3 + x ^ 47 – x ^ 22 + (1/2) x ^ 15, y así sucesivamente. Sabemos que, en el caso de un polinomio, podemos dividir y vencer. Podemos analizar cada término por sí solo. Solo necesitamos encontrar la derivada de 3, luego la derivada de x ^ 47 y así sucesivamente.

Comencemos con la derivada más fácil. Comencemos con una constante, como f (x) = 1. Si grafica esto, tengo una línea recta. Además, sé que la derivada es la pendiente de la tangente de esta recta, y podría decirte cuál es esa derivada con solo mirar esta gráfica. La pendiente de esa línea es constante; siempre es igual a cero. Entonces, la derivada de alguna constante, como f (x) = 1, es igual a cero.

Veamos uno un poco más complicado, como f (x) = x . Si grafica esto, veo nuevamente que la pendiente es constante. Además, sé que decir f (x) = x es como decir y = x + 0. De la forma pendiente-intersección, sé que la pendiente aquí es 1, y puedo calcular eso en cualquier lugar a lo largo de la línea. Si f (x) = 3 x , sé que la pendiente es 3, por lo que la derivada será igual a 3.

La pendiente de la tangente es 4

Encontrar derivadas de polinomios

De acuerdo, esto no es tan malo. ¿Qué pasa con un caso como f (x) = x ^ 2? Al graficar esto, la pendiente de la tangente no siempre es constante. Entonces, al encontrar la derivada de x ^ 2, necesito usar un cálculo formal. Uso de Let F` (x) = el límite cuando delta x se aproxima a cero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Sustituyamos f ( x + delta x ), que es ( x + delta x ) ^ 2, y f (x) , que es x ^ 2. Podemos expandir el ( x+ delta x ) ^ 2 y resuelva para ver que el límite cuando delta x llega a cero es 2 x + delta x . Bueno, cuando delta x llega a cero, esto es igual a 2 x , por lo que la derivada de f (x) = x ^ 2 es igual af ‘(x) = 2 x . Cuando x = 0, f (x) = 0 y f` (x) = 0. En x = 2, f (x) = 4 y f` (x) = 2 x = 4. Entonces, la pendiente de la tangente en ese punto es 4.

Veamos uno más. Veamos f (x) = x ^ 3. Ahora la derivada sigue siendo igual a ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Pero ahora f ( x + delta x ) = ( x + delta x ) ^ 3 y f (x) = x ^ 3, entonces esto se vuelve más complicado. Una vez más, puede expandir ( x + delta x ) ^ 3, simplificar los términos y dividir la parte superior e inferior por delta x . Encuentra que la derivada de x ^ 3 es 3 x^ 2.

La regla de la potencia para los derivados

Podríamos seguir, pero detengámonos y echemos un vistazo al patrón que tenemos. Digamos y = f (x) para cada uno de estos casos, entonces cuando y = 1, entonces y` = 0. Lo que podría decir en lugar de y = 1 es y = x ^ 0, ya que cualquier valor elevado a cero es igual a 1. Cuando y = x , puedo escribir que x ^ 1, la derivada fue 1. Cuando y = x ^ 2, la derivada es 2 x . Cuando y = x ^ 3, la derivada es 3 x ^ 2.

La regla de la potencia para las derivadas surge de este patrón

Entonces puede ver que hay un patrón aquí, y esto conduce a una buena regla de potencia para las derivadas . Si f (x) = x ^ n , entonces la derivada f` (x) = nx ^ ( n – 1).

• Cuando teníamos y = x ^ 0, n = 0, entonces nuestra derivada era 0 x ^ (0 – 1), que es solo 0.
• Cuando y = x ^ 1, teníamos n = 1, entonces nuestra derivada fue 1 x ^ (1 – 1), o 1 x ^ 0, que es solo 1.
• Cuando y = x ^ 2, teníamos n = 2, por lo que nuestra derivada fue 2 x ^ (2 – 1), o solo 2 x .
• Cuando y = x ^ 3, teníamos n = 3, entonces nuestra derivada era 3 x ^ (3 – 1), o solo 3 x ^ 2.

Puede hacer esto para cualquier cosa, como f (x) = x ^ 47. Puede expandir eso a la 47a potencia, pero usando nuestra regla, podría simplemente escribir f` (x) = 47 x ^ (47 – 1), que se simplifica como 47 x ^ 46. Incluso puedes usar esa fórmula cuando f (x) = x ^ -2. En este caso, su n es -2, por lo que su derivada es -2 x ^ (- 2 – 1) o simplemente -2 x ^ -3.

Calcular la velocidad vertical

Ahora retrocedamos y observemos la velocidad vertical de Super C, la bala de cañón humana. Nuevamente, podemos ver su altura en función del tiempo es h (t) = -16 t ^ 2 + 36 t . Ahora puede regresar y hacer esto formalmente, o simplemente puede usar nuestra nueva regla:

• h` (t) = d / dt ( h (t) ) = d / dt (-16 t ^ 2 + 36 t )
• Podemos dividir y conquistar para h` (t) = d / dt (-16 t ^ 2) + d / dt (36 t )
• Podemos extraer las constantes para h` (t) = -16 d / dt ( t ^ 2) + 36 d / dt ( t )
• Usando la regla de la potencia para derivadas, tenemos h` (t) = -16 (2 t ) + 36 (1)
• Podemos expandir eso para h` (t) = -32 t + 36.

Encontrar la velocidad vertical en el problema final

Esta es la misma respuesta que habríamos obtenido si hubiéramos hecho la expansión formal y mucho más complicada de la derivada.

Resumen de la lección

Cuando encuentre las derivadas de cualquier tipo de potencia o polinomio, recuerde siempre la regla rápida: si tenemos una función f (x) = x ^ n , entonces la derivada, f` (x) = nx ^ ( n – 1).