Campo eléctrico de un semicírculo cargado

Campos eléctricos

¿Alguna vez has ido a un concierto con un espectáculo de luces láser o has visto uno en televisión? Los rayos de luz salen en todas direcciones desde su fuente. Así es como se vería un campo eléctrico si pudieras verlo. Hay dos tipos de carga eléctrica y ambos generan campos eléctricos. Las líneas de campo se irradian en todas las direcciones de cargas positivas y se mueven desde todas las direcciones terminando en cargas negativas.

Anillo alrededor del origen

Comencemos con varias cargas puntuales dispuestas en semicírculo. Los campos eléctricos son vectores , lo que significa que tienen una magnitud (una fuerza) y una dirección. En este diagrama, podemos ver que la suma vectorial de todos los campos dejará solo los componentes y de los campos eléctricos. Todos los componentes x de los campos se cancelan. Esto se ilustra en este diagrama.

Ahora, supongamos que agregamos muchas más cargas positivas a nuestro semicírculo y lo convertimos en una barra sólida como se ve en este diagrama:

• dθ es un pequeño cambio de ángulo. Piense en ello como una pequeña porción de pastel de calabaza.
• Rdθ es un pequeño segmento de la circunferencia del semicírculo. Piense en esto como la pequeña porción de la corteza de pastel de calabaza de la cuña que acabamos de cortar. Multiplicar el radio y el ángulo minúsculo dθ nos da una longitud.

La densidad de carga lineal , λ, es la carga por unidad de longitud. Es útil porque tiene el mismo valor para una pequeña cantidad de la barra cargada y la barra cargada completa. La longitud total de la varilla es la mitad de la circunferencia de un círculo con radio R que nos da πR. Esto nos permite escribir la expresión para λ como se muestra en la Ecuación 1:

• λ es la densidad de carga lineal en culombios por metro (C / m)
• Q es la carga total en culombios (C)
• m es la longitud de la varilla en metros (m)

Reordenando la Ecuación 1 y despejando Q , obtenemos la Ecuación 2:

Como estamos tratando con un segmento diminuto del semicírculo cargado, πR se reemplaza por Rdθ, y la carga asociada con ese segmento diminuto viene dada por la Ecuación 3:

Un minúsculo campo eléctrico es generado por la minúscula carga dQ , y la ecuación para la magnitud (fuerza) de este campo eléctrico se da en la Ecuación 4:

• dE es el minúsculo campo eléctrico en newtons por culombio (N / C)
• k es una constante igual a 8,99 x 10 9 newton-metros-cuadrado-por-culombio cuadrado (nm 2 / C 2 )
• R es el radio de la distancia desde el pequeño segmento de carga en metros (m)

Ahora, podemos sustituir el lado derecho de la Ecuación 3 en dQ de la Ecuación 4 dándonos la Ecuación 5:

Al igual que cuando estábamos tratando con las partículas cargadas individuales y sus componentes x cancelados, lo mismo sucede con el semicírculo cargado. Todo lo que necesitamos son los componentes y de los campos eléctricos que se muestran en este diagrama.

La componente y del minúsculo campo eléctrico se da en la Ecuación 6:

La integración es la suma de todos los campos eléctricos minúsculos ( dE ) y da como resultado el campo eléctrico neto en el origen del semicírculo cargado. Integremos la ecuación resaltada en amarillo de la Ecuación 6. Los límites de nuestra integral son 0 y π porque θ va de 0 radianes a medio círculo a π radianes. Esto nos da la Ecuación 7:

Conectando la expresión para λ que establecimos anteriormente, obtenemos la respuesta final, Ecuación 8:

Ahora tenemos una ecuación general para determinar el campo eléctrico en el radio de un semicírculo cargado positivamente. Si supiéramos la magnitud de la carga positiva de la barra y el radio del semicírculo, podríamos calcular el campo eléctrico neto en el centro del semicírculo.

Resumen de la lección

Un semicírculo con carga positiva se puede considerar inicialmente como una varilla recta con una carga positiva que luego se dobla en un semicírculo. La densidad de carga lineal de la barra es la misma para una pequeña parte de la barra cargada y para toda la barra cargada. La densidad de carga lineal está representada por λ

Establecer el origen en el radio del semicírculo nos permite determinar el campo eléctrico en ese punto. El campo eléctrico de cargas positivas se irradia desde ellos. En el caso de un semicírculo, los valores x del campo eléctrico se cancelan porque los campos eléctricos son vectores, y todos los valores x son iguales en magnitud, pero opuestos en dirección.

Los Y -valores del campo eléctrico tienen que ser determinado utilizando la integración . El primer paso es establecer la ecuación para un pequeño campo eléctrico generado por una pequeña cantidad de varilla cargada.

A continuación, determinamos los valores de y de las líneas de campo:

Finalmente, integramos la ecuación dE de 0 a π radianes porque la barra curva va de 0 radianes a medio círculo a π radianes. Nuestra expresión final para el campo eléctrico neto en el origen de una varilla semicircular cargada positivamente es:

Rodrigo Ricardo Editor y fundador