Centro de Masa: Velocidad y Ecuación

Fórmula del centro de masa

El centro de masa es la posición promedio de todas las partículas dentro de un objeto o sistema de objetos. Para objetos simples con densidades constantes, encontrar el centro de masa puede ser intuitivo. El centro de masa de un cuadrado está en el centro geométrico del cuadrado, también conocido como centroide, porque esa es la posición promedio de toda la masa del cuadrado. Sin embargo, a veces, las formas más complejas o varios objetos en un sistema dificultan saber dónde está el centro de masa.

La fórmula del centro de masa para un sistema de objetos (en este caso, tres objetos) se puede encontrar usando: {eq}X = \frac{m1*x1*m2*x2*m3*x3}{m1+m2+m3} {/eq}

• X = la posición del centro de masa
• m = la masa de un objeto (kg)
• x = la posición de un objeto

Nota: la unidad de posición puede variar siempre que se mantenga constante a lo largo del trabajo.

Velocidad del centro de masa

La velocidad es el cambio de posición de un objeto a lo largo del tiempo. El centro de masa es la ubicación de las partículas dentro de un sistema donde se puede considerar que la masa total del sistema está concentrada. Cuando el sistema de partículas se mueve, el centro de masa se mueve junto con él. La ecuación de velocidad del centro de masa es la suma del momento de cada partícula (masa por velocidad) dividida por la masa total del sistema.

Esta ecuación muestra la velocidad del centro de masa de tres partículas:

Donde:

• m representa la masa en kilogramos (kg)
• v representa la velocidad en metros por segundo (m/s)

Velocidad del centro de masa

La velocidad es el cambio en la posición de un objeto a lo largo del tiempo. Dado que el centro de masa se mueve junto con un objeto o sistema de objetos en movimiento, el movimiento general se puede describir en términos de la velocidad del centro de masa.

Ecuación de la velocidad del centro de masa

Siguiendo con el sistema de tres objetos que se usó en la fórmula anterior, la ecuación de la velocidad del centro de masa es la suma del momento de los tres objetos en el sistema, dividida por la masa total:

{eq}V_{cm} = \frac{(m_1v_1) + (m_2v_2) + (m_3v_3)}{m_1+m_2+m_3} {/eq}

• V = velocidad del centro de masa (m/s)
• m = la masa de un objeto (kg)
• v = velocidad de un objeto (m/s)

Digamos que hay tres objetos. Uno con una masa de 2 kg, uno con una masa de 5 kg y uno con una masa de 8 kg. El primer objeto tiene una velocidad de 1 m/s, el segundo tiene una velocidad de 4 m/s y el último tiene una velocidad de 2 m/s. La velocidad del centro de masa se puede encontrar usando la fórmula anterior.

{eq}V_{cm} = \frac{(2 kg*1 m/s) + (5 kg*4 m/s) + (8 kg*2 m/s)}{2 kg+5 kg+8 kg } {/eq}

Simplificado, esto es igual a:

{eq}V_{cm} = \frac{38 kg*m/s}{15 m/s} {/eq}

Lo que equivale aproximadamente a 2,5 m/s para la velocidad del centro de masa.

Aceleración del centro de masa

La aceleración ocurre cuando la velocidad cambia en relación con el tiempo. La aceleración de un objeto se puede encontrar usando la fórmula:

F = metro * un

F = fuerza (N)

m = masa (kg)

= m/s^2

La aceleración del centro de masa se puede encontrar usando la fórmula:

{eq}a_{cm} = \frac{m_1a_1 + m_2a_2 + … + m_na_n}{m_1 + m_2 + … m_n} = \frac{m_1a_1 + m_2a_2 + m_na_n}{M} {/eq}

• La aceleración del centro de masa es {eq}a_{cm} {/eq}
• La aceleración de la partícula 1, etc. es {eq}a_1 {/eq}
• La masa de la partícula 1, etc. es {eq}m_1 {/eq}
• La masa total es M

Multiplicando ambos lados por M da:

{eq}Ma_{cm} = m_1a_1 + m_2a_2 + … + m_na_n {/eq}

• {eq}m_1a_1 {/eq} es la fuerza neta de la partícula 1
• {eq}m_2a_2 {/eq} es la fuerza neta de la partícula 2
• {eq}m_na_n {/eq} es la fuerza neta de n partículas

Ejemplo:

En este ejemplo hay tres objetos. La masa del objeto 1 es de 5 kg. La masa del objeto 2 es de 2 kg. La masa del objeto 3 es de 8 kg. La aceleración del objeto 1 es de 2 m/s. La aceleración del objeto 2 es de 1 m/s La aceleración del objeto 3 es de 5 m/s.

Comienza con la fórmula {eq}a_{cm} = \frac{m_1a_1 + m_2a_2 + … + m_na_n}{m_1 + m_2 + … m_n} = \frac{m_1a_1 + m_2a_2 + m_na_n}{M} {/ eq}

Introduce los valores conocidos {eq}a_{cm} = \frac{5*2 + 2*1 + 3*5}{5 + 2 + 3} {/eq}

Simplifica {eq}a_{cm} = \frac{10 + 2 + 15}{10} {/eq}

{eq}a_{cm} = \frac{27}{10} {/eq} o 2,7 m/s

Masa Tiempos Velocidad

El momento es la masa de un objeto en movimiento. Es el producto de la masa de un objeto y la velocidad del objeto.

La fórmula básica para el impulso es:

p=m*v

impulso = masa por velocidad

La fórmula del momento aparece en el cálculo de la velocidad del centro de masa. La fórmula original es:

{eq}V_{cm} = \frac{(m_1v_1) + (m_2v_2) + (m_3v_3)}{m_1+m_2+m_3} {/eq}

Reorganizada y multiplicada por M, la fórmula se convierte en:

{eq}Mv_{cm} = m_1v_1 + m_2v_2 + … + m_nv_n {/eq}

Ejemplo:

Una persona va en bicicleta con una velocidad constante de 15 m/s. La masa de la persona más la masa de la bicicleta es de 125 kg. ¿Cuál es el impulso de la bicicleta y el ciclista?

p=mv

pag=(125)(15)

p=1.875 kg*m/s

Ejemplo:

Una pelota rueda cuesta abajo. La masa de la pelota es de 0.5 kg y la pelota rueda a una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento del balón de fútbol?

p=mv

p=(0,5)(20)

p=10 kg*m/s

Derivada para la Fórmula del Centro de Masa:

• Comience con la fórmula del centro de masa:

{eq}x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + … + m_nx_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} {/eq}

• Calcular la derivada de ambos lados:

{eq}\frac{d}{dt}(x_{cm}) = \frac{d}{dt}(\frac{m_1x_1 + m_2x_2 + … + m_nx_n}{m_1 + m_2 + … + m_nx_n }) = \frac{m_1\frac{d}{dt}(x_1) + m_2\frac{d}{dt}(x_2) + … + m_n\frac{d}{dt}(x_n)}{ m_1 + m_2 + … + m_n} {/eq}

• Por lo tanto:

{eq}v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + … + m_nv_n}{m_1 + m_2 + … + m_n} {/eq}

Resumen de la lección

Encontrar el centro de masa de un objeto simple con densidad constante puede ser simple. El centro de masa es la posición promedio de todas las partículas dentro de un objeto o sistema de objetos. Encontrar el centro de masa de un objeto simple, como un cuadrado, es relativamente simple, el centro de masa es el centro geométrico, o baricentro, del cuadrado. Para formas más complejas e irregulares, se puede utilizar la fórmula del centro de masa. La fórmula del centro de masa es:

{eq}X = \frac{m1*x1*m2*x2*m3*x3}{m1+m2+m3} {/eq}

• X = la posición del centro de masa
• m = la masa de un objeto (kg)
• x = la posición de un objeto

La velocidad es el cambio de posición de un objeto a lo largo del tiempo. Esto se calcula tomando la suma de los momentos y dividiéndola por la masa total. La aceleración del centro de masa es su cambio de velocidad en relación con el tiempo. Se calcula dividiendo la fuerza externa total por la masa total. La masa de un objeto en movimiento es su cantidad de movimiento . El momento también se puede definir como el producto de la masa de un objeto y su velocidad.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador