Cómo y por qué utilizar el término general de una secuencia geométrica

Una secuencia geométrica

En esta lección en video, hablaremos sobre secuencias geométricas y cómo usar la fórmula para el término general de una secuencia geométrica. Aprendemos sobre esto porque encontramos secuencias geométricas en la vida real y, a veces, necesitamos una fórmula que nos ayude a encontrar un número particular en nuestra secuencia. Definimos nuestra secuencia geométrica como una serie de números, donde cada número es el número anterior multiplicado por una determinada constante. Esta constante varía para cada serie, pero permanece constante dentro de una serie.

¿Se pregunta cómo se relaciona este tipo de series con el mundo real? Es posible que se sorprenda al saber que este tipo de cosas suceden todo el tiempo, e incluso es posible que usted mismo esté involucrado en ello. Imagina que quisieras difundir el mensaje de que el viernes es el nuevo día del pañuelo rojo y que todos deberían usar un pañuelo rojo. Primero, envía su mensaje a cinco de sus amigos. Entonces, comenzamos con una persona y ahora tenemos cinco personas nuevas.

En el mensaje, les pides a tus amigos que envíen este mensaje sobre el nuevo día del pañuelo rojo a cinco de sus amigos para ayudarte a correr la voz. También les pides que sigan rodando y pides a sus amigos que cada uno corra la voz a cinco de sus amigos. Ahora tenemos 25 personas nuevas que conocen el mensaje. Si cada una de estas 25 personas les cuenta a 5 de sus amigos, ¿cuántas personas nuevas sabrán sobre el día del pañuelo rojo? Ciento veinticinco personas. Entonces tenemos una secuencia geométrica de 1, 5, 25, 125 … porque cada número es el anterior multiplicado por una constante, la razón común. La razón común en nuestro caso es cinco. Cada uno de nuestros números se multiplica por cinco para pasar al siguiente.

El Término General

De hecho, tenemos una fórmula que podemos usar para ayudarnos a calcular el término general , o enésimo término, de cualquier secuencia geométrica. Es x sub n es igual a veces r a la n – 1 de alimentación.

En esta fórmula, x sub n representa el número particular en esa secuencia. Entonces x sub 4 representa el cuarto término de nuestra secuencia. La n representa el término que estamos viendo. Si n es 10, entonces buscamos el décimo término en nuestra secuencia. La r representa la razón común, la constante de multiplicación que se usa en la secuencia geométrica para calcular cada número o término sucesivo. Conectamos nuestra a y r para nuestra secuencia geométrica cuando queremos usar esta fórmula.

Por qué lo usamos

¿Por qué usamos esta fórmula cuando simplemente podemos escribir nuestra secuencia para encontrar ese término en particular que queremos? Bueno, esto funciona bien para términos que están al comienzo de nuestra serie. Podemos encontrar fácilmente nuestro tercer, cuarto y quinto términos simplemente escribiendo nuestra secuencia. Para nuestro ejemplo de la bufanda roja, ya tenemos los primeros cuatro términos.

Pero, ¿qué pasa si queremos saber a cuántas personas se llegará con el mensaje del pañuelo rojo en la ronda 50? ¿Entonces que? ¿Quieres sentarte ahí y calcular los números hasta llegar al 50º trimestre? ¿O prefiere utilizar la fórmula para el término general y calcularlo? Prefiero usar la fórmula. Y es exactamente por eso que tenemos esta fórmula. Facilita el cálculo de cualquier número en nuestra secuencia.

Cómo usarlo

Veamos cómo podemos usarlo. Para nuestro pañuelo rojo, nuestra r es 5 y nuestra a es 1 ya que nuestro término inicial es 1. Si los conectamos a nuestro término general, obtenemos x sub n igual a 1 por 5 elevado a la potencia n – 1.

Esta se convierte en la ecuación para el término general de nuestra secuencia geométrica del pañuelo rojo. Debido a que mi primer término es 1 y cualquier cosa multiplicada por 1 es ella misma, he reescrito mi ecuación sin la parte de los tiempos 1. Si mi primer mandato fuera cualquier cosa menos 1, lo mantendría allí.

Para encontrar un número particular en nuestra secuencia, simplemente conectamos el valor n asociado con ese número para encontrar nuestro número. Entonces, para el número 50, mi n será 50. Al conectar 50 para n , obtengo x sub 50 = 5 a la potencia 50 – 1, o 5 a la potencia 49. 5 elevado a 49 es 1,77 * 10 ^ 34. Mi número 50 en la secuencia es entonces 1,77 * 10 ^ 34, un número muy grande. Eso es mucha gente nueva después de solo 50 rondas.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Hemos aprendido que una secuencia geométrica es una serie de números donde cada número es el número anterior multiplicado por una cierta constante. Esta constante de multiplicación también se conoce como razón común. El término general , o enésimo término, de cualquier secuencia geométrica viene dado por la fórmula x sub n es igual a a multiplicado por r elevado a la potencia n – 1, donde a es el primer término de la secuencia y r es la razón común.

Usamos esta fórmula porque no siempre es posible escribir la secuencia hasta que alcancemos el número deseado. Para utilizar esta fórmula, se enchufe en una y nuestra r para nuestra secuencia geométrica particular y entonces tapón de nuestra deseado n de encontrar nuestro número deseado en la secuencia.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de ver esta lección en video:

• Definir secuencia geométrica y razón común
• Identificar la fórmula del término general
• Explique el beneficio de usar esta fórmula.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador