Funciones exponenciales
¿Qué sucede cuando pones una mamá conejita junto con un papá conejito? Empiezan a multiplicarse, literalmente. Los conejos son conocidos por lo rápido que hacen bebés y luego por la rapidez con que esos bebés hacen aún más bebés. En matemáticas, lo llamamos crecimiento exponencial porque podemos describir su crecimiento con una función exponencial .
¿Cuáles son estas funciones? Son las funciones donde nuestra variable está en el exponente. Eso es fácil de recordar si miras la primera palabra y te dices a ti mismo que esta primera palabra te dice dónde está la variable. Entonces, tendremos funciones como y = 2 ^ x , y = 4 ^ x e y = 10 ^ x . ¿Cómo se ven estos cuando los graficamos? Veamos:
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La línea roja es el gráfico y = 2 ^ x , la línea azul es el gráfico y = 4 ^ x y la línea verde es el gráfico y = 10 ^ x . Observe cómo la línea verde realmente aumenta más rápido que las líneas azul y roja. ¿Por qué crees que es así? Esto se debe a que la base de nuestra función exponencial es mayor. Tenemos un 10 en lugar de un 2 o un 4.
Si estas funciones mostraran el crecimiento poblacional de dos grupos diferentes de conejos, diríamos que el grupo representado por y = 10 ^ x , la línea verde, tiene una tasa de crecimiento más rápida. Dado que estas funciones representan el crecimiento de la población, la base de nuestra función exponencial representa el factor de crecimiento o qué tan rápido crece nuestra población.
Comportamiento final exponencial
Lo que estamos haciendo aquí es analizar el comportamiento final , cómo se comporta nuestro gráfico para valores realmente grandes y realmente pequeños, de nuestro gráfico. Para funciones exponenciales, vemos que el comportamiento final tiende al infinito muy rápido. Cuanto mayor sea el factor de crecimiento, que es la base de la función exponencial, más rápido llegamos al infinito. También vemos que para valores muy pequeños de nuestra entrada, nuestra variable, el gráfico está cerca de 0. Para el crecimiento de la población, no nos preocupamos por estos valores.
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Funciones logarítmicas
Ahora, veamos las funciones logarítmicas y en qué se diferencian de las funciones exponenciales. En realidad, están relacionados entre sí. Las funciones logarítmicas son las funciones donde la variable es el argumento de la función logarítmica. Veremos funciones como y = log base 2 ( x ), y = log base 4 ( x ) e y = log ( x ). Recuerde que para las funciones logarítmicas, si no vemos un número base, automáticamente es 10.
Dije anteriormente que estas funciones están relacionadas con nuestras funciones exponenciales. Están en que las funciones logarítmicas son inversas de funciones exponenciales. Graficada, la versión logarítmica será la imagen especular de nuestra función exponencial a través de la línea y = x . ¿Quieres ver? Bien, aquí va:
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En este gráfico, la línea roja es la función y = log base 2 ( x ), la línea azul es la función y = log base 4 ( x ) y la línea verde es la función y = log ( x ). Hemos representado gráficamente las inversas de nuestras funciones exponenciales para nuestras poblaciones de conejos. Como puede ver, si doblamos nuestro papel cuadriculado diagonalmente a través del origen, en la línea y = x , entonces nuestras funciones logarítmicas son las imágenes especulares de nuestras funciones exponenciales.
Comportamiento final logarítmico
Debido a que las funciones logarítmicas son funciones exponenciales invertidas, su comportamiento final es un poco diferente. Vemos que estamos limitados a valores positivos para nuestra entrada. A medida que nuestra entrada se acerca a 0, nuestra función cae al infinito negativo. A medida que nuestra entrada se hace cada vez más grande, la función logarítmica también crece, pero lentamente.
No crece tan rápido como el exponencial, lo cual es de esperar, ya que estamos viendo la versión invertida. También vemos que cuanto mayor es la base de nuestro logaritmo, más lento es el crecimiento. Parece que nuestro comportamiento final aquí es lo opuesto a nuestro comportamiento final para nuestras funciones exponenciales.
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Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que las funciones exponenciales son las funciones donde nuestra variable está en el exponente, y las funciones logarítmicas son las funciones donde nuestra variable es el argumento de la función logarítmica. Las funciones logarítmicas son inversas de funciones exponenciales. Ejemplos de funciones exponenciales son y = 2 ^ x y y = 4 ^ x . Ejemplos de funciones logarítmicas son y = log base 2 ( x ) e y = log base 4 ( x ).
El comportamiento final de un gráfico es cómo se comporta nuestra función para valores de entrada realmente grandes y realmente pequeños. Para funciones exponenciales, vemos que nuestro comportamiento final va al infinito a medida que nuestros valores de entrada aumentan. Cuanto mayor sea la base de nuestra función exponencial, más rápido será el crecimiento. Para las funciones logarítmicas, nuestra función crece lentamente a medida que nuestros valores de entrada aumentan. Cuanto mayor sea la base de nuestra función logarítmica, más lento será el crecimiento.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, tendrá la capacidad de:
- Definir funciones exponenciales y funciones logarítmicas.
- Explicar la relación entre estos tipos de funciones.
- Describir el comportamiento final de funciones exponenciales y logarítmicas.
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