Serie geométrica infinita
Una serie geométrica es una secuencia de números donde cada número es el anterior multiplicado por una constante, la razón común. Estas series geométricas son infinitas, pero la mayoría de las veces solo nos interesa encontrar la suma de la parte inicial de la serie.
Por ejemplo, digamos que desea correr la voz sobre esta gran fiesta en la piscina que está organizando en la casa de sus sueños junto al océano. Envías la invitación de tu fiesta a cinco de tus amigos. Luego les pides a estos cinco amigos que envíen la invitación a cinco personas más.
Ahora 25 nuevas personas tendrán una invitación. Si estas 25 personas envían la invitación a cinco personas más cada una, su invitación habrá llegado a 125 personas nuevas. Puede ver que solo necesita sumar los primeros números para obtener un número realmente grande para su fiesta en la piscina.
A veces, sin embargo, desea ver qué tipo de números obtiene cuando suma la serie infinita. Por ejemplo, digamos que tiene un pastel y lo corta por la mitad. Toma una de esas rodajas y la corta por la mitad. Toma una de estas rebanadas y la corta por la mitad. Sigues repitiendo. Imagínese haciendo esto un número infinito de veces.
Ahora desea sumar sus porciones de pastel para ver cuánto pastel tiene. A esto lo llamamos ‘cuando n llega al infinito’ ya que n nos dice el número de términos de los que estamos hablando. Entonces, si n es infinito, entonces estamos hablando de todos los términos de nuestra serie infinita. En nuestro caso, son todos los cortes que tenemos.
Principio de Arquímedes: historia, fórmula y ejemplos
Es la suma de la que hablaremos en esta videolección. Le mostraré una fórmula que puede usar cuando su proporción común esté dentro de un cierto rango. ¡Así que vamos!
La formula
Si su razón común es menor que 1 o mayor que -1, pero no 0, entonces puede usar esta fórmula para calcular la suma de su serie geométrica infinita:
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La r es nuestra razón común y la a es el número inicial de nuestra serie geométrica. Para usar esta fórmula, nuestra r tiene que estar entre -1 y 1, pero no puede ser 0. Tampoco puede ser -1 o 1.
Entonces, si nuestra r es 1/2, 1/4, 1/3, etc., o incluso -1/2, -1/4, -1/3, entonces podemos usar esta fórmula. Si nuestra r está fuera de estos límites, si es mayor o igual a 1 o menor o igual a -1, entonces la suma de la serie geométrica infinita no se puede evaluar.
Usando la fórmula
Intentemos usar esta fórmula con nuestro ejemplo de pastel. Con nuestro primer corte, reservamos la mitad de nuestro pastel. Entonces, nuestro número inicial, nuestra a , es 1/2. Nuestra r es 1/2 ya que estamos cortando nuestro pastel por la mitad cada vez.
Alquinos: Fórmula, propiedades y ejemplos
Veamos qué tipo de respuesta obtenemos. Nos conectamos en nuestro medio para una y nuestro medio para r . Ahora evaluamos. 1 menos 1/2 es 1/2. 1/2 dividido por 1/2 es 1. Entonces, nuestra respuesta es 1.
Sumando todas nuestras rebanadas, comenzando con nuestra media rebanada, nos da un pastel completo. Eso tiene sentido ya que simplemente estamos cortando nuestro único pastel en porciones muy pequeñas.
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Un ejemplo más
Probemos con un ejemplo más. Vea si puede calcularlo usted mismo a medida que avanzamos. Nuestro primer término es 1/3 y nuestra razón común es 1/4. Dado que nuestra razón común está entre -1 y 1 y no es 0, podemos usar nuestra fórmula.
Enchufamos 1/3 para una y cuarto de r . 1 menos 1/4 es 3/4. 1/3 dividido por 3/4 es 4/9. Entonces, esta serie geométrica infinita con un término inicial de 1/3 y una razón común de 1/4 tendrá una suma infinita de 4/9.
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Resumen de la lección
¿Qué hemos aprendido? Aprendimos que una serie geométrica es una secuencia de números donde cada número es el anterior multiplicado por una constante, la razón común.
Conductividad eléctrica de metales: Ejemplos y fórmula
Para encontrar la suma de la serie geométrica infinita, podemos usar la fórmula a / (1 – r ) si nuestra r , nuestra razón común, está entre -1 y 1 y no es 0. Nuestra a en esta fórmula es nuestro término inicial .
Usamos esta fórmula conectando nuestro término inicial, nuestra a , y nuestra razón común, nuestra r , y evaluando. Si nuestra r está fuera de este rango, si es mayor que 1 o menor que -1, entonces no se puede evaluar la suma de la serie geométrica infinita.
Los resultados del aprendizaje
Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:
- Definir series geométricas y razón común
- Identificar la fórmula para encontrar la serie geométrica infinita.
- Explica cuándo puedes usar esta fórmula y cómo calcularla.
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