Cuadrilátero bicéntrico: definición y propiedades

Cuadrilátero bicéntrico

Supongamos que los diseñadores de Tall Oak Toys están tratando de crear un nuevo tipo de cometa que tiene la forma de una cometa típica (en matemáticas, esto se llama cometa derecha ), pero tiene un círculo dentro de la cometa que toca cada uno de los lados. del kite en exactamente un punto, y un círculo en el exterior del kite que pasa por todos los vértices del kite.

Juguete de cometa

En matemáticas, tenemos nombres especiales para cada una de las partes de esta cometa. En primer lugar, la cometa es un cuadrilátero , porque es un polígono de cuatro lados. En segundo lugar, los círculos también tienen nombres especiales.

• Incircle : El incírculo de un polígono es un círculo que se puede dibujar en el interior del polígono y que toca cada uno de los lados del polígono exactamente una vez.
• Circuncírculo : El circuncírculo de un polígono es un círculo que se dibuja alrededor del polígono que pasa por todos los vértices de los polígonos.

Ahora, juntando todo esto, llamamos cuadrilátero bicéntrico a cualquier cuadrilátero que tenga tanto un círculo como un círculo . Por tanto, esta cometa que están creando los diseñadores es un cuadrilátero bicéntrico. ¡Es un nombre muy elegante para un concepto bastante simple!

Ahora, suponga que los diseñadores están tratando de calcular las longitudes que deben tener los radios de ambos círculos para construir las cometas correctamente para que se puedan volar.

Una vez más, ¡estos radios tienen nombres especiales en matemáticas!

• Inradius : El inradius de un cuadrilátero es el radio del incírculo del cuadrilátero.
• Circumradius : El circunradio de un cuadrilátero es el radio del circunferencia del cuadrilátero.
• Desplazamiento : El segmento de línea que conecta el centro del círculo y el centro del círculo.

Cuadrilátero bicéntrico

Propiedades de los cuadriláteros bicéntricos

Conocemos las longitudes de los lados de la cometa, pero ¿cómo diablos vamos a encontrar las longitudes de esos radios? Afortunadamente, los cuadriláteros bicéntricos tienen un par de propiedades realmente interesantes que hacen que encontrar estas longitudes sea una simple cuestión de usar una fórmula.

Comencemos con el radio interno de un cuadrilátero bicéntrico. Para encontrar el inradio de un cuadrilátero bicéntrico con longitudes de lado a , b , c , y d , utilizamos la siguiente fórmula:

Ahora, considere el circunradio de un cuadrilátero bicéntrico. Para encontrar el radio de circunferencia de un cuadrilátero bicéntrico usamos la siguiente fórmula:

¡Ah! ¡Las fórmulas pueden hacer las cosas mucho más fáciles! ¡Usemos estos para encontrar las longitudes de los radios de la cometa, para que los diseñadores puedan poner estas cosas en producción!

Ejemplo

La cometa que están creando los diseñadores tiene longitudes de lado a = 18 pulgadas , b = 27 pulgadas , c = 27 pulgadas yd = 18 pulgadas. Por lo tanto, tenemos todo lo que necesitamos para encontrar el radio interno y circunferencial de la cometa. Primero, encontraremos el radio interno. Conectamos las longitudes de nuestros lados en la fórmula y simplificamos.

Obtenemos que el radio interno de la cometa es de 10,8 pulgadas. Bastante fácil, ¿eh? Usemos ahora la fórmula del circunradio para encontrar el circunradio de la cometa.

Obtenemos que el radio de circunferencia de la cometa es de aproximadamente 16,22 pulgadas, ¡y ahora los científicos tienen todo lo que necesitan para elevar este cuadrilátero bicéntrico en el aire!

¡Guauu! Todo eso solo por saber que la cometa es un cuadrilátero bicéntrico y conocer las longitudes de sus lados. ¡Es genial cuando los objetos geométricos, como los cuadriláteros bicéntricos, tienen propiedades que hacen que encontrar sus características sea tan fácil!

Resumen de la lección

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y una bicéntrico cuadrilátero es un cuadrilátero que tiene tanto una circunferencia inscrita y una circunferencia circunscrita , donde una circunferencia inscrita es un círculo dentro del cuadrilátero que toca cada uno de los lados del cuadrilátero exactamente una vez, y una circunferencia circunscrita es un círculo dibujada alrededor del cuadrilátero que pasa por cada uno de los vértices del cuadrilátero. Los radios de una circunferencia inscrita y una circunferencia circunscrita se llama el inradio y la circunferencia circunscrita , respectivamente.

Cuadriláteros bicéntrico con longitudes de lado a , b , c , y d tienen propiedades especiales que nos permiten ser capaz de calcular las longitudes de sus radios utilizando las siguientes fórmulas:

Propiedades como estas hacen que analizar cuadriláteros bicéntricos y sus características sea una tarea mucho más sencilla.