Definición y representación gráfica de elipses en álgebra

Una elipse

Una elipse se puede describir como un círculo estirado. Me imagino a dos personas tirando de cada extremo de un círculo y estirándolo. O puede imaginarse a dos perros jugando al tira y afloja con un disco circular. De cualquier manera, es importante aprender las elipses en matemáticas porque también son una sección cónica, lo que significa que puedes obtener una elipse cortando un cono. Corta un cono de gofre de helado en ángulo y tendrás una elipse.

La ecuacion

Al igual que con los círculos, una elipse tiene un centro. A diferencia de los círculos, una elipse tiene dos medidas diferentes para su radio, que es la distancia desde el borde hasta el centro. ¿Observa cómo una elipse es más larga en una dirección que en la otra? Debido a esto, una elipse tendrá una medida de radio para una dirección y otra medida de radio para la otra dirección. Nuestra ecuación de una elipse tiene en cuenta todas estas medidas. Nuestra ecuación es ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 + ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1, donde ( h, k ) es el centro de nuestra elipse, a es el radio en la dirección horizontal y bes el radio en dirección vertical. Observe que no siempre es una ventaja en entre las x y Y partes de la ecuación y que la ecuación siempre es igual a 1.

Graficar una elipse

Veamos cómo podemos usar esta ecuación para ayudarnos a graficar una elipse. Digamos que queremos graficar la ecuación x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1. Primero, notamos que el centro de nuestra elipse está ubicado en (0, 0) ya que no hay números que se resten o sumen a nuestra x o y . A continuación, averiguamos qué tan lejos irán nuestros bordes de elipse. Nuestro a ^ 2 es 4, entonces eso significa que mi a es 2. Si mi a es 2, entonces eso significa que mi elipse sale 2 espacios a la izquierda y 2 espacios a la derecha de mi centro. Puedo seguir adelante y dibujar dos puntos en esos dos lugares. A continuación, veo que mi b ^ 2 es 9, lo que significa que mi b es 3. Dado que mi bes 3, entonces mis otros dos puntos se dibujarán 3 espacios sobre mi centro y 3 espacios debajo de mi centro. Ahora que tengo mis puntos, puedo ir y dibujar mi elipse, mi círculo estirado, asegurándome de tocar todos esos puntos.

Graficar otra elipse

Probemos con otro. Intentemos graficar ( x – 4) ^ 2/9 + ( y + 2) ^ 2/4 = 1. Lo primero que noto es que mi centro está en (4, -2) ya que mi h es 4 y mi k es -2. ¿Por qué mi k es un número negativo? Observe cómo tenemos y + 2 en nuestro problema. Nuestra ecuación de elipse, sin embargo, muestra y – k con un signo menos en el medio. Como tenemos y + 2 , en realidad estamos mirando y – (-2), por lo que nuestro k es -2. A continuación, vemos que nuestro a ^ 2 es un 9, lo que significa que a es 3. Nuestro b ^ 2 es un 4, lo que significa que nuestrob es a 2. Ahora podemos seguir adelante y graficar nuestros cuatro puntos de borde. Como nuestra a es 3, trazamos un punto 3 espacios a la izquierda y otro punto 3 espacios a la derecha de nuestro centro. Nuestro b es un 2, por lo que trazamos un punto dos espacios arriba y otro punto dos espacios debajo de nuestro centro. Luego dibujamos nuestra elipse y ¡listo!

Resumen de la lección

Repasemos ahora. Una elipse se puede describir como un círculo estirado. Nuestra ecuación de elipse es ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 + ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1, donde ( h , k ) es el centro de nuestra elipse, a es el radio en la horizontal dirección y b es el radio en la dirección vertical. Para graficar nuestra elipse, nos encontramos con el centro mediante la búsqueda de nuestros h y k valores. Nuestro centro estará entonces ubicado en el punto ( h , k ).

A continuación, nos encontramos con nuestros a y b valores tomando las raíces cuadradas de los denominadores. Por ejemplo, si el número que se encuentra en el un ^ 2 spot es 9, entonces mi una es 3, ya que la raíz cuadrada de 9 es 3. Una vez que encontramos los unos y b valores, podemos representar los puntos que los bordes de nuestra la elipse pasará. Por último, graficamos nuestra elipse dibujando un círculo estirado que pasa a través de todos nuestros a y b puntos.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

• Escribe la ecuación de una elipse
• Identificar el centro y los radios horizontal y vertical de una elipse a partir de una ecuación.
• Grafica una elipse