Desarrollar distribuciones de probabilidad discretas teóricamente y encontrar valores esperados

Publicado el 4 noviembre, 2020

Generación de distribución de probabilidad discreta

Puede recordar que una distribución de probabilidad resume la probabilidad de un experimento en particular.

Se pueden crear distribuciones de probabilidad discretas a partir de datos o de teorías basadas en lo que sabemos sobre un experimento dado. Aquí veremos distribuciones discretas teóricas como lanzar monedas, lanzar dados, girar una ruleta o jugar a las cartas, pero también podría extenderse a otros experimentos donde se conoce cada resultado.

Lanzar dos monedas

Suponga que lanza dos monedas y queremos conocer los diversos resultados posibles y las probabilidades asociadas con ellos.

Primero, debemos analizar todos los resultados posibles. Bueno, cuando lanzamos dos monedas, no podemos sacar cara, una cara o dos caras. Del mismo modo, no podemos obtener colas, una cola o dos colas. Pero tenga en cuenta: si no tenemos cara, en realidad tenemos dos colas, y una cara es lo mismo que una cola, y dos caras equivalen a no tener cruz. Entonces, tenemos que decidir si queremos ver el número de caras o el número de cruces antes de continuar.

Para este problema, solo veremos el número de cabezas. Por lo tanto, tenga en cuenta que el número de caras podría ser 0, 1 o 2, por lo que definimos nuestra variable aleatoria X como la cantidad de caras cuando lanzamos dos monedas.

Y queremos llenar una tabla como esta:

Número de caras al lanzar dos monedasProbabilidad de X: P (X)
0
1
2

Pero necesitamos calcular la probabilidad para cada valor de X.

Entonces, en primer lugar, ¿cuál es la probabilidad de que X sea igual a 0? En notación matemática taquigráfica, escribiríamos

P (0) =?

Dado que X = 0 significa que no hay cara (o dos cruces), y la probabilidad de que no haya cara en una moneda es 1/2, entonces la probabilidad de que no haya cara en ambas monedas (ni cara ni cara) es igual a 1/2 * 1/2 = 1/4 .

Tenga en cuenta que en probabilidad, la palabra Y se traduce como MULTIPLICAR.

Entonces, P (0) = 1/4 o 0.25

Número de caras al lanzar dos monedasProbabilidad de X: P (X)
0 0,25
1
2

Ahora calculemos P (1): la probabilidad de una cara.

Hay dos posibles resultados. Pero, para ver esto, etiquetemos las monedas como Coin One y Coin Two. Entonces, los posibles resultados que tienen una cara son: cara en la moneda uno y cruz en la moneda dos O cruz en la moneda uno y cara en la moneda dos.

Veamos el primer resultado. La probabilidad de que salga cara en la moneda uno es 1/2, y luego la probabilidad de que salga cruz en la moneda dos es 1/2. Multiplicándolos, obtenemos 1/4. Pero también tenemos que mirar el otro resultado, que tiene exactamente la misma probabilidad de 1/4. Dado que solo nos interesa una cabeza, debemos tener en cuenta ambos resultados, por lo que sumamos las posibilidades ( 1/4 + 1/4 ) para obtener 1/2.

Tenga en cuenta que en probabilidad, la palabra OR se traduce como ADD.

Por lo tanto, la probabilidad de que X = 1, sea 1/2 o en matemática abreviada: P (1) = 1/2 o 0.5

Número de caras al lanzar dos monedas Probabilidad de X: P (X)
0 0,25
1 0,5
2

Finalmente, queremos encontrar la probabilidad de obtener dos caras o P (2).

La probabilidad de que salga cara en cada moneda es 1/2, por lo que la probabilidad de que salga cara en la moneda uno y cara en la moneda dos es 1/2 * 1/2 = 1/4 .

P (2) = 1/4 .

Podemos resumir esto en una tabla.

Número de caras al lanzar dos monedas Probabilidad de X: P (X)
0 0,25
1 0,5
2 0,25

Esta es una distribución de probabilidad para el número de caras cuando arrojas dos monedas.

Una distribución de probabilidad contiene todos los valores de la variable aleatoria X y su probabilidad.

Tenga en cuenta que en una distribución de probabilidad, las probabilidades suman uno.

Número de caras al lanzar dos monedas Probabilidad de X: P (X)
0 0,25
1 0,5
2 0,25
Total = 1

Valor esperado

Suponga que lanza dos monedas y quiere saber cuántas caras puede esperar. Bueno, dado que solo hay dos monedas y la probabilidad de que salgan caras es del 50% (o 0.5), esperaríamos que al lanzar dos monedas obtengamos una cara. Por tanto, el valor esperado de X es 1 para este experimento.

Pero, ¿cómo calculamos esto, especialmente para distribuciones más grandes? Formalmente, el valor esperado es la suma de (X veces P (X)) para todos los valores de una variable aleatoria X, o E (X) = La suma de X * P (X) .

Valor esperado

Aplicando esto al ejemplo de dos monedas, tomamos cada valor de X y lo multiplicamos por su probabilidad y luego los sumamos. Entonces tendremos:

E (X) = (0 * 0,25) + (1 * 0,5) + (2 * 0,25)

Luego, sumamos estos números. Entonces tenemos:

0 + 0,5 + 0,5 = 1

Este es el valor esperado de X. En otras palabras, esperamos una cara cuando lanzamos dos monedas. El cálculo se puede realizar utilizando la tabla de distribución de probabilidad:

Número de caras al lanzar dos monedas Probabilidad de X: P (X) X * P (X)
0 0,25 0 * 0,25 = 0
1 0,51 * 0,5 = 0,5
20,252 * 0,25 = 0,5
Suma: X * P (X) = 1

Esto no significa que siempre obtendremos una cara cuando lanzamos dos monedas. Significa que, en promedio, al lanzar dos monedas, obtendrá una cara. ¿Puedes ver dónde será útil esta información?

El valor esperado también se puede aplicar a juegos de azar y seguros. Veremos el juego.

Ruleta: un juego de azar

Si visita cualquier casino, es probable que vea al menos una mesa con una rueda giratoria y una bola. Este juego es bastante popular y se llama ruleta.

En el juego de la ruleta, haces girar una rueda que contiene una bola. Hay diferentes versiones de la rueda, pero supongamos que la rueda tiene 38 ranuras y la bola puede aterrizar en cualquiera de las 38 ranuras de la rueda. Las ranuras están numeradas del 0, 00 y del 1 al 36. Las ranuras con 0 y 00 son de color verde. Las ranuras numeradas del 1 al 36 son de color negro y rojo (18 números para cada color).

Suponga que el casino ofrece un pago de $ 10 si apuesta $ 1 en verde y la bola cae en verde. Recuerde, las ranuras verdes son las ranuras con 0 y 00. ¿Qué puede esperar ganar o perder si sigue apostando en verde?

Al principio puede parecer un buen negocio, $ 10 por una apuesta de $ 1. Pero, ¿con qué frecuencia aterrizará la bola en green?

Para responder a esta pregunta, podemos establecer una distribución de probabilidad para la cantidad de dinero que puede ganar o perder por giro. Por lo tanto, dejamos que X sea la cantidad de dinero que gana o pierde por giro. ¿Qué valores puede tomar X y es X discreto o continuo?

Bueno, si pierde en una apuesta, pierde solo $ 1, y si gana en una apuesta, gana $ 10, pero le costó $ 1 jugar, por lo que su ganancia neta es de $ 9. Entonces, X puede tener dos valores, -1 para perder $ 1 y +9 para ganar $ 9. Y dado que X solo puede igualar estos dos valores distintos, X es discreto.

X (valor del juego para ti) P (X)
– $ 1
+ $ 9

¿Cuáles son las probabilidades asociadas con estos valores de X?

Recuerde, solo gana si la bola cae en las ranuras verdes. Dado que solo hay dos espacios verdes de 38 espacios, y todos son igualmente probables, la probabilidad de que la bola caiga en un punto verde es 2 de 38 o 1/19.

Cualquier otra cosa, la pierdes. Desafortunadamente para ti, hay otras 36 máquinas tragamonedas, por lo que la probabilidad de que pierdas en un giro es de 36 de 38 o 18/19.

¿Qué puede esperar ganar si sigue apostando $ 1 al verde? Bueno, hay una probabilidad de 1/19 de que ganes $ 9 y una probabilidad de 18/19 de que pierdas $ 1. Entonces:

9 * 1/19 + (-1 * 18/19) = -9/19 o – $ 0.47 por giro

Por lo tanto, puede esperar perder $ 0.47 en promedio por cada $ 1 apostado al green. Suponga que apuesta $ 1 al verde 100 veces, ¡podría esperar perder 0.47 * $ 100, que es igual a $ 47!

Resumen de la lección

En esta lección, analizamos distribuciones de probabilidad discretas. Para experimentos clásicos, como lanzar monedas, lanzar dados, juegos de cartas o juegos de azar como la ruleta, podemos generar la distribución usando lo que sabemos sobre el juego y las reglas de probabilidad. Vimos que la suma de las probabilidades en una distribución discreta es 1. Además, aprendimos cómo calcular el valor esperado de la distribución multiplicando cada valor de la variable aleatoria X por su probabilidad y luego sumando los resultados. El valor esperado es la suma de (X veces P (X)) para todos los valores de una variable aleatoria X. También vimos que el valor esperado de X tiene aplicaciones útiles en los juegos de azar.

Los resultados del aprendizaje

Siguiendo esta lección, puede:

  • Grafique la probabilidad esperada de un resultado.
  • Calcule el valor esperado para determinar la probabilidad de un resultado.

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