¿Qué es la probabilidad condicional? Definición, ecuación y ejemplos

Probabilidad condicional definición

La probabilidad de un único evento, E, es {eq}P(E)=\frac{número\: de\: resultados\: favorables }{número\: total\: de\: resultados} {/eq}. El número total de resultados de un experimento también se denomina espacio muestral. Por ejemplo, cuando se lanza un dado justo, la probabilidad de obtener un 5 o más es {eq}P(x\geq 5)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} {/eq}, ya que hay 6 resultados posibles y dos de ellos mayores o iguales a 5. Si se lanza un dado dos veces, la segunda tirada es independiente de la primera, es decir, el número que sale en la primera tirada no tiene impacto en el segundo número. Los dos eventos son independientes. Por otro lado, la probabilidad de tener gripe y tener fiebre son eventos dependientes, ya que cuando una persona tiene gripe, la probabilidad de tener fiebre es mayor que cuando no tiene gripe. Esta situación se llama probabilidad condicional.

Entonces, ¿qué es la probabilidad condicional? Es la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ocurrió; como la probabilidad de que alguien tenga fiebre dado que tiene gripe.

La definición formal de probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ocurrió. Para dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ya ocurrió, se escribe como {eq}P(B|A) {/eq}.

Por ejemplo, para los eventos:

F: la probabilidad de que una persona tenga gripe

H: la probabilidad de que una persona tenga fiebre

Entonces, {eq}P(H|F) {/eq} representa la probabilidad de que una persona tenga fiebre, dado que tiene gripe. Mientras que, {eq}P(F|H) {/eq} representa la probabilidad de que una persona tenga gripe dado que tiene fiebre.

Ecuación de probabilidad condicional

{eq}P(B|A) {/eq} es la probabilidad de ocurrencia de B, después de que A haya ocurrido. En la Figura 1, el diagrama de Venn del evento A está sombreado para representar que ha ocurrido. La ocurrencia de ambos eventos, A y B, se representa en la región {eq}A\cap B {/eq}. En probabilidad condicional, el espacio muestral se convirtió en A y el evento es {eq}A\cap B {/eq}. Por lo tanto

La ecuación de probabilidad condicional es {eq}P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} {/eq}.

{eq}P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} {/eq} podría reorganizarse como {eq}P(A\cap B)=P(B|A)\cdot{P(A)} {/eq}.

¿Cómo resolver la probabilidad condicional?

La probabilidad condicional es la ocurrencia de un evento solo después de que otro evento haya ocurrido. ¿Cómo resolver la probabilidad condicional? Hay una variedad de contextos en los que se puede aplicar la probabilidad condicional, pero hay algunos pasos comunes para resolverlos según su fórmula {eq}P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} {/eq}.

• Dibuje un diagrama; un diagrama de Venn, un diagrama de árbol o una tabla para comprender el problema.
• Calcule {eq}P(A\cap B) {/eq} y P(A) en función de la información proporcionada
• Sustituya todos los valores en la fórmula para calcular {eq}P(B|A) {/eq}.

Ejemplos de probabilidad condicional

A continuación se muestran algunos ejemplos de probabilidad condicional.

Ejemplo 1: En una clase de 20 estudiantes, 9 estudian física, 12 estudian matemáticas y 2 no estudian ninguna de las dos materias. Se elige un estudiante al azar de la clase. Halla la probabilidad de que el estudiante estudie física, dado que estudia matemáticas.

Solución: Dibuje un diagrama de Venn

• Como 2 estudiantes no estudian ninguna de las materias, está fuera de {eq}M\cup P {/eq}. Por lo tanto, {eq}n(M\cup P)=20-2=18 {/eq}
• Usando {eq}n(M\cup P)=n(M)+n(P)-n(M\cap P) {/eq} y resolviendo {eq}18=9+12-n(M\cap P) {/eq}, entonces {eq}n(M\cap P)=3 {/eq}.

• Usando el diagrama de Venn {eq}P(P\cap M)=\frac{3}{20},\: P(M)=\frac{12}{20} {/eq},
• Valores de sustitución en la ecuación {eq}P(P|M)=\frac{P(P\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{12}{20}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} {/eq}

Tenga en cuenta que utilizando el diagrama de Venn, {eq}P(P|M) {/eq} también se puede encontrar mediante {eq}P(P|M)=\frac{n(P\cap M)}{n(M)}=\frac{3}{12} {/eq}.

Ejemplo 2: Suglo toma un autobús para ir a la escuela. En un día determinado, la probabilidad de que llueva es 0,4, la probabilidad de que el autobús de Suglo llegue tarde en un día lluvioso es 0,7 y la probabilidad de que llegue tarde en un día que no llueve es 0,2. Halla la probabilidad de que sea un día lluvioso, dado que el autobús llegó tarde.

Solución: Dibuje el diagrama de árbol con la información dada.

• Definir los eventos

L: El autobús llega tarde

R: Es un día lluvioso

Como cada rama del diagrama de árbol debe sumar 1, complete la información faltante como se ve en la Figura 3.

• Calcula la probabilidad de que el autobús llegue tarde, que proviene de dos ramas diferentes del diagrama de árbol {eq}P(L)=P(R\cap L)+P(R’\cap L) {/eq} por lo tanto, {eq}P(L)=0.4\cdot 0.7+0.6 \cdot 0.2=0.4 {/eq}
• Calcular {eq}P(R\cap L)=0,4 \cdot 0,7=0,28 {/eq}
• Sustituye los valores en la fórmula {eq}P(R|L)=\frac{P(R\cap L)}{P(L)}=\frac{0.28}{0.4}=0.7 {/eq}.

Por lo tanto, la probabilidad de que llueva dado que el autobús llegó tarde es de 0,7.

Ejemplo 3: En un juego de cartas, los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se escriben en tarjetas y se colocan en una bolsa. Choi toma una tarjeta y la registra. Sin devolverla a la bolsa, toma otra tarjeta y la registra también. Halla la probabilidad de que la primera tarjeta sea un número primo, dado que la segunda tarjeta es un número primo.

Solución: Los números primos son 2, 3 y 5.

• Define el evento, R: la probabilidad de elegir un número primo
• Dibuje un diagrama de Venn que represente los eventos y calcule la probabilidad de cada rama, como se ve en la Figura 4.

Primera carta {eq}P(R)=\frac{3}{6} {/eq} y {eq}P(R’)=\frac{3}{6} {/eq}

Se toma la segunda carta después de un número primo, solo quedan 2 números primos y 5 cartas, por lo tanto, {eq}P(R)=\frac{2}{5} {/eq} y {eq}P(R’)=\frac{3}{5} {/eq}

La segunda carta después de tomar un número no primo, todavía quedan 3 números primos y 5 cartas, por lo tanto, {eq}P(R)=\frac{3}{5} {/eq} y {eq}P(R’)=\frac{2}{5} {/eq}

• La probabilidad de la segunda carta es un número primo {eq}P(segunda \: carta \; R)=P(R\cap R)+P(R’\cap R)=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}+\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2} {/eq}
• Probabilidad de que el primer número sea un número primo y el segundo número sea un número primo {eq}P( R\cap R)=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}=\frac {1}{5} {/eq}
• Escribe las probabilidades en la fórmula y simplifica {eq}P(primera\: carta\: R|segunda \: carta\: R)=\frac{P(R\cap R)}{P(segunda \: carta\: R)}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{5} {/eq}

Por lo tanto, la probabilidad de que la primera carta sea un número primo, dado que la segunda carta es un número primo {eq}P( primera\: carta\: R|segunda\: carta\: R)=\frac{2}{5} {/eq}.

Resumen de la lección

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido. Para dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ya ocurrió, se escribe como {eq}P(B|A) {/eq}. La ecuación de probabilidad condicional es {eq}P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} {/eq}. Algunos ejemplos de probabilidad condicional son

• la probabilidad de tener fiebre dado que la persona tiene gripe
• la probabilidad de obtener un número primo dado que el primer número fue menor que 5 al lanzar un dado dos veces.

Pasos para resolver la probabilidad condicional:

• Primero escribe los eventos y, usando los eventos, escribe la probabilidad condicional solicitada.
• Dibuje un diagrama de Venn o un diagrama de árbol para encontrar las partes necesarias para la fórmula de probabilidad condicional.
• Calcular las probabilidades necesarias
• Sustituya los valores encontrados en la fórmula {eq}P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} {/eq} y simplifique.

La probabilidad condicional ocurre en la vida cotidiana, por lo que es beneficioso saber cómo resolver problemas de probabilidad condicional.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador