Descomposición parcial de fracciones: reglas y ejemplos

Descomposición parcial de fracciones

Construir un castillo de naipes está obteniendo resultados complicados de algo más simple, que es lo opuesto a la descomposición de fracciones parciales (PFD) , donde se obtienen resultados más simples de algo complicado. Pero al igual que un castillo de naipes, la descomposición de fracciones parciales necesita estructura y reglas.

La descomposición parcial de fracciones es como un castillo de naipes.

Estoy seguro de que has visto fracciones antes, pero ¿qué pasa con las fracciones polinómicas ? Estos tienen polinomios tanto para el numerador como para el denominador. Por ejemplo:

Ambos polinomios están en forma estándar : los términos están ordenados del exponente más alto al más bajo. Aquí hay otra idea clave: el orden de un polinomio , que es el exponente numerado más alto. Nuestro polinomio numerador de forma estándar tiene un primer término de 2 x 1 . El orden del numerador es 1. El orden del polinomio del denominador es 2, ya que x 2 es el exponente más alto. La primera regla de PFD es que el orden del denominador debe ser mayor que el orden del numerador.

Preparando el trabajo

No entre en pánico con la siguiente ecuación. Estos son solo cuatro casos de PFD combinados en una sola expresión.

El factor ( x + 2) es lineal, mientras que ( x 2 – 2 x + 2) es cuadrático. El ( x – 1) 2 es un factor lineal elevado a una potencia, mientras que ( x 2 + 4) 2 es un factor cuadrático elevado a una potencia. Las flechas apuntan al PFD.

Factores lineales

Los factores lineales tienen x elevado a la primera potencia:

Aquí hay una fracción con dos factores lineales:

¿Recuerda la importancia de la estructura en el castillo de naipes? Nuestra estructura aquí es:

Como un castillo de naipes, ¿no? De acuerdo, tal vez no, pero tenemos una regla para los factores lineales : para cada factor lineal, escriba una nueva fracción de una letra mayúscula sobre el factor lineal. Luego suma estas nuevas fracciones.

En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación se convierte en la suma de dos nuevas fracciones. Así es como encontramos un denominador común:

Dado que el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho, los numeradores deben ser iguales entre sí, y podemos simplificar nuestra ecuación:

Cualquier valor puede sustituirse por x , aunque algunos valores se simplificarán mejor que otros. Dejando x = 1 borra la A ya que 1 – 1 = 0, y con algo de álgebra nos da B = 1. Si x = -2, podemos borrar la B con -2 + 2 = 0, nos da A = 3 . Ahora tenemos nuestra descomposición:

Los factores cuadráticos tienen x elevado a la segunda potencia:

Descompongamos esta ecuación:

Factores cuadráticos

El primer factor del denominador es cuadrático. Aquí está la regla para los factores cuadráticos : escriba Ax + B en el numerador de una nueva fracción y el factor cuadrático como denominador.

El segundo factor en el denominador es lineal. En nuestra nueva fracción, obtiene una sola letra sobre el factor lineal. Nuestra estructura aquí es:

Al igual que con las ecuaciones lineales, usamos el denominador común y luego equiparamos los numeradores:

Sustituyendo x = -2 (para eliminar A y B ), da C = 3. Expandiendo las multiplicaciones del lado derecho y los términos de agrupación:

¿Qué pasa si comparamos el lado izquierdo con el lado derecho? Para ser claros, estamos mirando:

En el lado derecho, vistazo a lo que está multiplicando el x 2 – es un + C . Ahora miramos el lado izquierdo y vemos que el término x 2 se multiplica por 5. ¿Nuestra conclusión? A + C = 5.

¿El 8 por sí solo en el lado izquierdo se compara con lo que está en el lado derecho? Aquí hay una pista: en el lado derecho, encuentre los términos que no se multiplican por una x o una x 2 . ¡Estás en lo correcto! 2 B + 2 C = 8.

Habiendo hecho estas comparaciones, podemos escribir:

Usar C = 3 nos da A = 2 y B = 1. El resultado es:

Factores lineales elevados a una potencia

¿Qué pasa con un factor lineal elevado a la segunda potencia?

La estructura aquí es:

Sabemos de factores lineales. La nueva fracción tiene una sola letra sobre el factor lineal. Pero aquí tenemos ( x – 1) 2 . La potencia de 2 requiere no una, sino dos nuevas fracciones. Entonces, si fuera ( x – 1) 3 , tendríamos tres fracciones antes de la fracción ( x + 2) (que ahora tiene un numerador de D ) y tendrían como denominadores ( x – 1), ( x – 1 ) 2 , y ( x -1) 3 , con correspondientes numeradores de A , B , y C . La regla para factores elevados a la potencia nes: el lado derecho es la suma de n nuevas fracciones donde el numerador de cada fracción es el numerador típico para este tipo de factor en PFD, pero los denominadores son el factor elevado a la primera potencia, la segunda potencia y todas el camino hacia el poder n .

Volviendo a nuestro ejemplo, el denominador común en el lado derecho es ( x – 1) 2 . Escribiendo cada fracción del lado derecho sobre este denominador común y sumando nos da:

Dado que los denominadores de los lados izquierdo y derecho son los mismos, equiparamos los numeradores:

Dejando x = 1, que borra tanto A como C , nos da B = 2. Para x = -2 (para borrar B ), obtenemos C = 3. Sustituyendo x = 0 (para dejar 5 solo a la izquierda lado de la mano) y usando los valores para B y C nos da A = 1.

La respuesta final es:

Factores cuadráticos elevados a una potencia

Hagamos un ejemplo más. Nuestro último caso considera un factor cuadrático elevado a una segunda potencia:

Ya sabes cómo hacer esto. Es lo mismo que tener un factor lineal elevado a la segunda potencia, excepto que los numeradores tienen una letra multiplicada por x + una letra. Aquí está nuestra estructura:

Como antes, equiparamos los numeradores:

Expandiendo el lado derecho y agrupando términos nos da:

Al comparar cada grupo del lado derecho con el del lado izquierdo, se obtiene A = 1 (1 x 3 = Ax 3 ) y B = -1 (-1 x 2 = Bx 2 ). De 4 A + C = 5 (5 x = (4 A + C ) x ) y conociendo A + 1, obtenemos C = 1. De 4 B + D = -6 y conociendo B = -1, obtenemos D = -2.

Nuestra descomposición resultante es:

Directrices

En un castillo de naipes, la estructura es muy importante. La parte inferior debe ser mayor que la parte superior. Esto te ayudará a recordar la primera regla de la descomposición de fracciones parciales: el orden del denominador debe ser mayor que el orden del numerador. ¿Y si ese no es el caso? La respuesta es una división larga de polinomios . Por ejemplo, este es un caso en el que el numerador y el denominador son de orden 2. Advertencia: no se cumple la primera regla de descomposición de fracciones parciales.

Haz una división larga polinomial:

En la división larga polinómica, que hacemos la etapa de sustracción cambiando los signos de 4 x 2 + 4 x – 8 a -4 x 2 – 4 x + 8 y añadiendo esto a 4 x 2 – 1. El resto es -4 x + 7.

La constante 4 más el resto escrito sobre el divisor x 2 + x – 2 ahora tiene una fracción polinomial donde se permite la descomposición parcial de la fracción:

Otra guía útil predice el número de letras desconocidas : el número de letras desconocidas es el mismo que el orden del denominador. Por ejemplo, la descomposición de un denominador de orden 4 requiere 4 letras desconocidas.

Suficientes descomposiciones de fracciones parciales. Ahora podemos volver a otro pasatiempo desafiante: agregar pisos a un castillo de naipes. . .

Resumen de la lección

La descomposición de fracciones parciales permite escribir fracciones polinómicas complicadas como la suma de fracciones más simples. En esta lección, usamos ejemplos para mostrar las reglas para cuatro casos de descomposición de fracciones parciales:

1. Factores lineales
2. Factores cuadráticos
3. Factores lineales elevados a una potencia
4. Factores cuadráticos elevados a una potencia

Rodrigo Ricardo Editor y fundador