Describir la relación funcional entre cantidades

Relaciones funcionales

Probablemente sepas que una función es algo que escribes con números, muestras en una tabla o trazas en un gráfico. Pero también puede describir una relación funcional , o la relación entre las entradas y salidas de una función dada, con palabras. A veces, puede especificar números exactos y cantidades específicas, pero incluso si no puede hacerlo, puede describir el comportamiento general de la función.

Por ejemplo, piense en la función y = 3 – x . Aquí hay una tabla que muestra algunos valores de entrada y salida de esa función:

Si quisiera describir la relación entre los números de la columna de la izquierda y los números de la columna de la derecha, podría decir que por cada aumento de 1 unidad en x , hay una disminución de 1 unidad en y . O si no tenía los números exactos y todo lo que tenía era un gráfico, también podría decir que, a medida que las entradas se hacen más grandes, las salidas se hacen más pequeñas.

¡Acaba de describir una relación funcional entre dos conjuntos de cantidades! También puede describir otros aspectos de una relación funcional con palabras. Por ejemplo, puede decir si la salida está cambiando a una tasa constante o si la tasa de cambio en sí está cambiando. Si la velocidad está cambiando, ¿se está acelerando o disminuyendo?

De gráficos a funciones

Si está mirando un gráfico, no necesita ver números exactos para poder describir las relaciones que está viendo. Simplemente puede observar patrones de comportamiento. Y de hecho, incluso si tiene números exactos, aprender a reconocer estos patrones de comportamiento lo ayudará a reconocer las relaciones funcionales más rápidamente.

Éstos son algunos de los jugadores más importantes. Si ve un gráfico donde la línea se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, significa que la función está aumentando; en otras palabras, cuando x aumenta, y aumenta. Si ve un gráfico en el que la línea se inclina hacia abajo de izquierda a derecha, significa lo contrario: la función disminuye o, a medida que x aumenta, y disminuye.

Si la gráfica es una línea recta, la tasa de cambio es constante. Si el gráfico es curvo, la tasa está cambiando. Si tiene una tasa cambiante, si el gráfico se vuelve más empinado, entonces la tasa de cambio aumenta. Si se vuelve más plano, la tasa de cambio está disminuyendo.

Usando estas relaciones, puede llegar a una descripción verbal del comportamiento de una función incluso si no conoce ningún número específico y no puede ponerlo en una tabla. De hecho, incluso si tuviera números en esos gráficos, sigue siendo muy útil poder mirar la imagen y ver instantáneamente cómo es el comportamiento general de la función; le ahorra mucho tiempo al conectar números.

Problemas de ejemplo

Ahora, veamos un ejemplo. Aquí tienes una función. ¿Puede describir su comportamiento?

Función en el primer problema de ejemplo

Esta función aumenta a lo largo de su longitud, se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. Pero puedes ver que su comportamiento cambia en el origen. Hasta el origen, aumenta a una tasa constante, lo que se muestra por la forma en que la línea es recta. Después de eso, aumenta a un ritmo decreciente: una línea curva que se vuelve más plana a medida que avanza. ¡Y podrías hacer todo eso sin siquiera ver ningún número!

Ahora, veamos uno que es un poco más complicado.

Betty Botter necesita comprar tres libras de mantequilla para su pastel, más media libra adicional por cada libra de pastel. Escribe una función que describa cuánta mantequilla necesita y describe la relación funcional entre las libras de pastel que hace y las libras de mantequilla que necesita.

Esta pregunta nos pregunta por la relación funcional, pero primero tenemos que encontrar la función. Si x representa las libras de pastel e y representa las libras de mantequilla, podríamos escribir la función así:

En términos generales, esta función podría expresarse mediante la ecuación y = 3 + 0.5 x .

Puede ver la relación aquí: por cada 1 libra de aumento en la torta hecha, se necesita un aumento de media libra en la mantequilla. O, en términos más generales, podría decir que la función aumenta a una tasa constante, comenzando desde 3.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió a describir la relación entre dos cantidades en términos de su comportamiento funcional. Aprendió a mirar una tabla de valores, o un gráfico, y describir la relación funcional que se muestra en palabras: ¿La función aumenta o disminuye? ¿Está cambiando a una tasa constante, una tasa creciente o una tasa decreciente?

Si tiene una ecuación para la función o una tabla de valores, puede poner números exactos al comportamiento de la función y decir algo así como por cada aumento de 1 unidad en x , hay una disminución de 1 unidad en y . Pero incluso si no tiene números exactos, aún puede describir patrones generales de comportamiento, como a medida que las entradas se hacen más grandes, las salidas se hacen más pequeñas.

Esto también es aplicable a situaciones del mundo real. Siempre que tenga una función, puede describir la relación funcional entre las cantidades que implica. ¡Pruébelo usted mismo en el cuestionario!

Los resultados del aprendizaje:

A medida que completa el video, debería poder:

• Explica qué es una relación funcional en matemáticas.
• Describir una relación funcional basada en una tabla de valores o un gráfico.
• Escribir una función y describir la relación funcional basada en un problema verbal dado.