Distribución de Poisson: definición, fórmula y ejemplos

Distribuciones de Poisson

Imagínese planificar y hacer un viaje por carretera con algunos amigos. La ruta planificada tiene un promedio de dos paradas de descanso cada 150 millas. Según el millaje de su automóvil, calcula que el grupo debe detenerse para comer y gasolina cinco veces durante el viaje de 600 millas. Como uno de tus amigos es matemático, tienes curiosidad por saber la probabilidad de que el grupo pase exactamente cinco paradas de descanso durante el viaje. Para resolver esto, necesitará usar una distribución de Poisson.

Las distribuciones de Poisson se utilizan para calcular la probabilidad de que ocurra un evento durante un cierto intervalo. El intervalo puede ser de tiempo, área, volumen o distancia. Puede encontrar la probabilidad de que ocurra un evento usando la fórmula en la imagen de la fórmula de distribución de Poisson.

Fórmula de distribución de Poisson

Condiciones de probabilidad

Hay dos condiciones que deben cumplirse para utilizar una distribución de Poisson. Primero, cada evento exitoso debe ser independiente. En relación con nuestro hipotético viaje por carretera, la probabilidad de encontrar una parada de descanso no debe depender de encontrar otra parada de descanso. En segundo lugar, la probabilidad de éxito en un intervalo corto debe ser igual a la probabilidad de éxito en un intervalo más largo. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar una parada de descanso es de 2 por 150 millas y esta tasa debe permanecer constante para cualquier tramo de distancia.

Ejemplo uno

Usemos la fórmula para encontrar la probabilidad de que pase exactamente cinco paradas de descanso durante su viaje por carretera. Puede encontrar el número promedio de paradas por milla dividiendo 2 entre 150, lo que equivale a 0.013. Para un viaje de 600 millas, usted y sus amigos pueden esperar 7.8 paradas, el resultado de multiplicar 0.013 por 600. El número de éxito que buscamos aquí es cinco. Sustituyendo estos valores (7.8 y 5) en la fórmula, obtenemos 0.099. Esto nos dice que hay un 9,9% de probabilidad de que usted y sus amigos pasen exactamente cinco paradas de descanso durante su viaje por carretera de 600 millas.

Probabilidad de pasar cinco paradas de descanso en 600 millas

Ejemplo dos

En el siguiente ejemplo, veremos cómo se puede usar la distribución de Poisson para encontrar la cantidad de bacterias en una muestra de agua.

• Un río tiene un promedio de 3 bacterias E. coli por 5 ml de agua. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 20 bacterias en una muestra de 50 ml?

Para encontrar el número de bacterias en la muestra, dividiríamos 3 por 5 y multiplicaríamos el resultado por 50 para obtener 30. El número de éxitos que estamos buscando es 20. Después de sustituir estos valores en la fórmula, encontramos que la probabilidad de encontrar 20 bacterias en la muestra de 50 ml es del 1,3%.

Probabilidad de encontrar 20 bacterias en una muestra de 50 ml

Ejemplo tres

Hemos utilizado la distribución de Poisson para calcular la probabilidad sobre la distancia y el volumen, ahora encontraremos la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo.

• Un sitio web de redes sociales gana un promedio de doce nuevos seguidores cada día. Calcula la probabilidad de ganar 75 seguidores en una semana.

Después de multiplicar 12 * 7, podemos esperar razonablemente un total de 84 nuevos seguidores en una semana. Estamos buscando 75 seguidores, por lo que usaremos 75 para nuestro número de éxitos. Usando la fórmula de Poisson, encontramos que la probabilidad de obtener 75 nuevos seguidores en una semana es 2.8%.

Probabilidad de ganar 75 seguidores en una semana

Resumen de la lección

Las distribuciones de Poisson se utilizan para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo, área, volumen o distancia. Las distribuciones de Poisson se pueden aplicar a muchos campos de estudio, incluidos la ciencia y los negocios. Por ejemplo, un gerente comercial puede usar una distribución de Poisson para pronosticar la cantidad de ventas durante una temporada particular del año. Para utilizar la fórmula de Poisson, la probabilidad de cada evento exitoso debe ser independiente y permanecer constante en cualquier intervalo. La fórmula para determinar las distribuciones de Poisson es:

Fórmula de distribución de Poisson

Rodrigo Ricardo Editor y fundador