El álgebra de conjuntos: propiedades y leyes de la teoría de conjuntos

Ambientaciones en la vida real

¿Tienes una comida favorita? Tal vez sea una comida de hamburguesa con queso de su restaurante favorito de hamburguesas. Esta comida probablemente incluya una hamburguesa con queso, papas fritas, una bebida, algunos paquetes de salsa de tomate y servilletas. En la vida real, esto es lo que llamamos conjunto.

La definición técnica de un conjunto es una colección de objetos muy específicos. Repasemos las propiedades y leyes de la teoría de conjuntos en general.

Teoría de conjuntos

Un conjunto de cualquier cosa tiene que tener criterios específicos y estar bien definido. Por ejemplo, una persona puede pensar que una cena de hamburguesa con queso en un restaurante de comida rápida es increíble, mientras que otra persona puede sentir repulsión por su sabor, invalidando los criterios. Un ejemplo de un conjunto válido serían los alimentos comestibles que incluyen pan, por lo que la cena de hamburguesa con queso calificaría. Hagamos una lista de alimentos y determinemos cuáles son elegibles para un conjunto de artículos comestibles que incluyen pan; llamaremos a nuestro conjunto ” S ”

S = {sándwich, hamburguesa, hamburguesa con queso, tostadas, budín de pan}

El símbolo ∈ indica que algo es parte de un conjunto. Por ejemplo, queso asado ∈ S significa que el queso asado es parte del conjunto S. Esta es una afirmación verdadera porque el queso asado es un sándwich. Helado ∉ S significa que el helado no forma parte del conjunto S porque no incluye pan.

Echemos un vistazo a las propiedades de los conjuntos. El orden de los elementos de un conjunto no importa. En nuestro conjunto de alimentos comestibles que incluyen pan, podríamos enumerar las tostadas primero y el sándwich al final. Si un elemento de un conjunto se repite, cuéntelo una vez. Por ejemplo, digamos que tenemos un conjunto W que representa las letras de la palabra “hamburguesa con queso”. El ejemplo está aquí: W = {c, h, e, e, s, e, b, u, r, g, e, r}. Como hay cuatro e y dos r, podemos reescribir el conjunto como W = {c, h, e, s, b, u, r, g}.

Las leyes de los conjuntos

Echemos un vistazo a las diferentes leyes de los conjuntos, una a la vez.

1. Unión de Conjuntos

Digamos que tenemos dos conjuntos: S = {sándwich, hamburguesa, hamburguesa con queso, tostadas, pudín de pan} y B = {hamburguesa, hamburguesa con queso}. Volveremos a consultar estos conjuntos durante el resto de la lección. La unión de estos conjuntos son todos los elementos que forman parte de ambos conjuntos, o ∪. La unión de los conjuntos S y B se escribe como A ∪ B = {sándwich, hamburguesa, hamburguesa con queso, tostadas, pudín de pan}, que incluye todos los elementos de ambos conjuntos, pero solo uno de cada elemento si hay múltiplos.

2. Intersección de conjuntos

La intersección de conjuntos define lo que es común a ambos conjuntos. Por ejemplo, en los conjuntos S y B, la hamburguesa y la hamburguesa con queso son comunes a ambos conjuntos. La intersección de estos conjuntos es S ∩ B = {hamburguesa, hamburguesa con queso}. Esta notación es similar a un diagrama de Venn de los dos conjuntos.

La hamburguesa y la hamburguesa con queso se incluyen en ambos juegos; por lo tanto, son la intersección de los dos conjuntos.

3. Derecho conmutativo

La suma es una propiedad conmutativa porque 4 + 3 = 7 y 3 + 4 = 7; el orden en el que se agregan los números no importa. Esto también se aplica a la ley conmutativa de conjuntos. Por ejemplo, S ∪ B es lo mismo que B ∪ S. Asimismo, S ∩ B es lo mismo que B ∩ S.

4. Ley distributiva

Al resolver la ecuación 3 ( x + y ), distribuimos el ” 3 ” tanto para x como para y = 3 x + 3 y . La misma ley distributiva se aplica a los conjuntos.

Volvamos a nuestros conjuntos originales S y B y agreguemos un nuevo conjunto D:

D ∪ (S ∩ B) = (D ∪ S) ∩ (D ∪ B)

5. Derecho asociativo

La ley asociativa de conjuntos es similar a la ley conmutativa y establece que con uniones o intersecciones de conjuntos, el orden no importa. Por ejemplo, si A ∪ (B ∪ D), también es cierto que (A ∪ B) ∪ D.

6. Diferencia de conjuntos

Para ilustrar la diferencia de conjuntos , que involucra elementos que no se comparten entre conjuntos, determinemos que S – B, que se refiere a los elementos del conjunto S que no forman parte del conjunto B; aquí, S – B = {sándwich, tostadas, budín de pan}. Dado que la hamburguesa y la hamburguesa con queso se encuentran en ambos conjuntos, no se incluyen en la diferencia entre los conjuntos S y B.

7. Complemento de Conjuntos

Un complemento de un conjunto es todo lo que no forma parte del conjunto. Por ejemplo, en nuestro conjunto B, cualquier comida que no sea una hamburguesa con queso o una hamburguesa sería un complemento. En este caso, los hígados de pollo serían un complemento del conjunto B! El complemento de un conjunto que lo incluye todo (un conjunto universal) no es nada, mientras que el complemento de un conjunto sin nada lo es todo.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido. Un conjunto es una colección de valores o elementos específicos. Este símbolo ∈ indica que algo es parte de un conjunto, mientras que este símbolo ∉ indica que algo no es parte de un conjunto.

Cuando se enumeran artículos en un conjunto, el orden no importa. Cualquier elemento que se repita solo se cuenta una vez.

Las leyes de los conjuntos son:

• Unión de conjuntos: todos los elementos que forman parte de ambos conjuntos (∪)
• Intersección de conjuntos: elementos que son comunes a varios conjuntos (∩)
• Ley conmutativa : no se requiere orden para los elementos de un conjunto
• Ley distributiva: distribución de un conjunto a través de otra unión o una intersección de conjuntos.
• Ley asociativa : no se requiere orden en uniones o intersecciones de conjuntos
• Diferencia de conjuntos : elementos que no se comparten entre conjuntos
• Complemento de sets : todo lo que no está incluido en un set. El complemento de un conjunto universal no es nada, mientras que el complemento de un conjunto de nada lo es todo.