El potencial de un cilindro

¿Qué es el potencial?

El potencial eléctrico es la cantidad de energía potencial eléctrica que tendría cada unidad de carga en un punto particular del espacio. Se mide en julios por culombio o voltios. Dos puntos en el espacio tienen diferentes potenciales eléctricos debido a sus diferentes posiciones dentro de un campo.

Dado que el potencial eléctrico es bastante difícil de imaginar, una forma de hacerlo más fácil de imaginar es pensar en términos de algo que experimentamos todos los días: la gravedad. El potencial gravitacional es la cantidad de energía potencial gravitacional que tendría cada kilogramo de masa (en lugar de carga) en una ubicación particular.

Si levanta una bola a una altura, h , y la deja caer, se mueve porque tenía energía potencial gravitacional a esa altura. La cantidad de energía que tendría una masa de 1 kilogramo es el potencial en esa posición. Y si dibujara líneas de campo, apuntarían desde la bola elevada hacia el suelo; el potencial disminuye a medida que sigue las líneas de campo. El potencial eléctrico funciona exactamente de la misma manera.

Ley de Gauss para un cilindro

En otra lección, presentamos la ley de Gauss. La ley de Gauss se utiliza para generar ecuaciones para el campo eléctrico creado por un objeto cargado. Puede tener cualquier forma; podría ser una esfera cargada o, para la lección de hoy, un cilindro cargado. Una vez que tenemos una expresión para el campo eléctrico, podemos usarla para encontrar una expresión para el potencial eléctrico.

La ley de Gauss dice que el campo eléctrico multiplicado por el área de una superficie es igual a la carga encerrada por esa superficie dividida por la permitividad del espacio libre, que siempre es igual a 8.85 * 10 ^ -12. El siguiente paso es insertar una ecuación para el área de la superficie de un objeto en particular que estamos viendo.

Hoy, estamos viendo un cilindro. Pero para hacerlo más fácil, lo convertiremos en un cilindro largo. Por largo, queremos decir que es lo suficientemente largo para que los bordes del cilindro estén lejos y no afecten el resultado del campo eléctrico. Para un cilindro largo, el área de la superficie es igual a la circunferencia del cilindro (que es 2pi r ) multiplicada por la longitud del cilindro. Inserte eso en la ley de Gauss y reorganice para hacer E el sujeto, y obtenemos esta ecuación: E es igual a Q sobre 2pi epsilon-cero rL .

Por último, debemos deshacernos de la longitud porque, al ser un cilindro largo, no queremos que la longitud se vea involucrada. Para ello, definimos la carga por unidad de longitud, lambda, donde lambda es igual a Q dividido por L . Nuestra ecuación ya tiene Q dividido por L , por lo que podemos reemplazar eso con lambda. Cuando haces eso, obtienes esta ecuación final, donde lambda es la densidad de carga por unidad de longitud del cilindro, épsilon-cero es una constante que siempre es igual a 8.85 * 10 ^ -12, y r es la distancia desde la que estás el centro del cilindro.

Pero no queremos una ecuación para el campo eléctrico, queremos una ecuación para el potencial eléctrico. Para conseguir esto, tendríamos que hacer algunos cálculos. La integral del campo eléctrico con respecto al radio nos dará el potencial. Entonces, tenemos que integrar la ecuación que tenemos hasta ahora con respecto a r .

También tenemos que definir el potencial cero como si estuviera en la superficie del cilindro; esto es completamente arbitrario, pero necesitamos tener algún tipo de punto cero. Si hacemos eso, obtenemos esta ecuación final para el potencial fuera de un cilindro cargado:

La mayoría de estos términos los hemos definido antes, pero la R mayúscula es el radio del cilindro y la r minúscula es el radio en el que estás tratando de encontrar el potencial.

Problema de ejemplo

Entonces, por ejemplo, se le podría preguntar lo siguiente: ‘Un cilindro conductor largo tiene una carga de 0.1 culombios por metro y un radio de 0.02 metros. ¿Cuál es el potencial eléctrico en un radio de 0,1 metros del centro del cilindro?

En primer lugar, debemos escribir lo que sabemos. La carga por unidad de longitud, lambda, es igual a 0,1 y el radio del cilindro en sí, R mayúscula , es 0,02. También sabemos que el radio que nos interesa, r minúscula , es 0,1. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es conectar estos números en la ecuación y resuelve para el potencial, V . Hacer eso nos dará un potencial negativo de 2.9 * 10 ^ 9 voltios. Y eso es todo, esa es nuestra respuesta.

Resumen de la lección

El potencial eléctrico es la cantidad de energía potencial eléctrica que tendría cada unidad de carga en un punto particular del espacio. Se mide en julios por culombio o voltios. Dos puntos en el espacio tienen diferentes potenciales eléctricos debido a sus diferentes posiciones dentro de un campo.

Una forma de encontrar el potencial eléctrico de un cilindro largo es usar primero la ley de Gauss para encontrar una expresión para el campo eléctrico. Cuando hacemos eso, obtenemos esta expresión:

Y luego, si integramos esa expresión con respecto al radio, y aplicamos el límite de que V = 0 en la superficie del cilindro, obtenemos esta ecuación final para el potencial de un cilindro largo:

Aquí, lambda es la densidad de carga por unidad de longitud del cilindro, medida en culombios por metro; épsilon-zero es una constante que siempre es igual a 8.85 * 10 ^ -12; la r minúscula es la distancia a la que se encuentra desde el centro del cilindro; y R mayúscula es el radio del propio cilindro.

Los resultados del aprendizaje

Fortalezca su capacidad para hacer lo siguiente revisando esta lección sobre el potencial de un cilindro:

• Caracterizar el potencial eléctrico
• Utilice la ley de Gauss al encontrar el potencial eléctrico de un cilindro
• Llegue a la ecuación final para el potencial de un cilindro largo

Rodrigo Ricardo Editor y fundador