El teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo dice que si f (x) es continua entre una y b , la integral de x = un a x = b de f (x) dx es igual a F (b) – F (a) , donde el derivada de F con respecto ax es igual af (x) . La F grande es lo que se llama una anti-derivada de la f pequeña . Este es uno de los puntos más clave de todas las matemáticas y se llama teorema fundamental del cálculo. Pero, ¿qué diablos significa «fundamental»?

La mirada de Let en un gráfico de la velocidad como una función del tiempo – por lo que este es f (t) – entre un cierto punto en el tiempo una , y un cierto punto en el tiempo b . Digamos que f (t) es constante entre una y B , sólo para hacer las cosas simples. Sé que, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la integral de un a de b de’ f dt (t) – por lo que es el área bajo esta curva – es igual a F (b) – F (a) , donde F` (t) = f (t) . Ese es el teorema fundamental del cálculo. Pero veámoslo.

Teorema fundamental en la práctica

F (t) es igual af y la derivada de 30t es igual a 30

Digamos que f (t) = 30 millas por hora (mph). Primero busquemos una F de la que puedas tomar la derivada para obtener 30. Así que aquí quiero encontrar lo que se llama una anti-derivada de f . Digamos que F = 30 t . Si tomo la derivada de 30 t , obtengo d / dt (30 t ), que es igual a 30 d / dt ( t ), que es solo 30. Entonces, ahora mismo, sé que F` (t) = f y la derivada de 30 t es igual a 30, por lo que la derivada de esto es igual a esto.

Bien, ahora tengo f (t) , que es 30, y mi anti-derivada aquí es 30 t , así que conectemos esos. Digamos que tengo mi velocidad aquí, 30, y estoy integrando que entre una y b . De acuerdo con el teorema fundamental, esto es igual a F (b) , por lo que F , que es 30 t , evaluado en t = b , por lo que es igual a 30 b – F (a) , que es 30 a . Entonces, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la integral de a a b de 30 dt = 30 b – 30a . Puedo simplificar este lado derecho para que sea igual a 30 ( b – a ). Bueno, echemos un vistazo a nuestro gráfico. Nuestro gráfico es solo una línea recta, por lo que la integral en este caso es solo este rectángulo aquí. Bueno, el área de un rectángulo es la altura por el ancho. Mi altura es 30, porque f (t) = 30. Mi ancho es b – a . Así que, efectivamente, eso es lo que equivale a este lado derecho: es igual a mi altura por mi ancho, que es exactamente el área. Así que este tipo de obras, pero ¿qué significa?

f (t) delta t es un rectángulo de Riemann

Echemos un vistazo a qué es este anti-derivado. Este anti-derivado, F` (t) , realmente está diciendo dF / dt . Puedo escribir F`t = f (t) es lo mismo que dF / dt = f (t) , ¿verdad? Entonces, ¿qué hay en el lado izquierdo? Recuerde que un derivado es sólo una pendiente, por lo que esta es la pendiente de la tangente de esta función, F . En una escala muy, muy pequeña, podría escribir esto como delta F / delta t . Entonces esto es como encontrar una pendiente en una gráfica. La diferencia en la altura, F , dividida por la diferencia en t . Entonces, si escribo dF / dt como delta F /delta t a la izquierda, y mantengo mi f (t) en el lado derecho, bueno, podría multiplicar ambos lados por delta t , así que ese es mi cambio en el tiempo aquí, y termino con el cambio en este anti -derivado, F = f (t) delta t . Pero espere un segundo: f (t) delta t – ¡eso es como un rectángulo de Riemann! Esa es mi altura multiplicada por mi ancho, esta área de aquí. Si empiezo a sumar todos estos, terminaré con una integral para pequeños pequeños delta t . Así que tiene sentido; si los sumo todos, termino con el lado izquierdo de mi teorema fundamental. Termino con el área debajo de la curva: esta es una suma de Riemann. Mi delta F es mi cambio deF – eso es todo lo que es este lado derecho. Es el cambio de F entre un punto y otro.

Bien, verlo es un poco difícil al principio. Pero, ¿qué significa esto realmente, desde un punto de vista práctico? Significa que si tiene alguna función extraña y desea encontrar el área debajo de esta curva, todo lo que necesita saber es una función de la que esta es la derivada. Solo necesitas encontrar la anti-derivada de esta función. Una vez que lo hagas, es fácil encontrar el área. Así que no más sumas de Riemann, no más límites infinitos. Todo lo que tienes que hacer es encontrar un anti-derivado. Esto, créame, hará su vida muy, muy feliz.

Para encontrar el área debajo de la curva, primero encuentre la anti-derivada de la función

Resumen de la lección

Así que repasemos el teorema fundamental del cálculo . Si algunos f (x) es continua entre el punto de una y el punto b , entonces yo puedo escribir la integral de una a b de f dx (x) como igual a la anti-derivada en b menos el anti-derivada en una , donde la anti-derivada es una función tal que cuando tomas la derivada de ella, terminas con f (x) de regreso.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador