Encontrar ceros racionales usando el teorema de los ceros racionales y la división sintética

Definiciones

Factorizar funciones polinomiales y encontrar ceros de funciones polinomiales puede ser un desafío. Esta lección explicará un método para encontrar ceros reales de una función polinomial. Tenga en cuenta que esta lección espera que los estudiantes sepan cómo dividir un polinomio usando división sintética. Puede ver nuestras lecciones sobre la división de polinomios usando división sintética si necesita repasar sus habilidades.

Primero establezcamos algunas definiciones en caso de que haya olvidado algunos términos que se utilizarán en esta lección. Un cero de una función polinomial es un número que resuelve la ecuación f ( x ) = 0. Estos números a veces también se denominan raíces o soluciones. Un cero racional es un número racional, que es un número que se puede escribir como una fracción de dos enteros. Un cero irracional es un número que no es racional, por lo que tiene un decimal infinitamente no repetitivo.

Teorema de los ceros racionales

El teorema de los ceros racionales nos ayuda a encontrar los ceros racionales de una función polinomial. Una vez que encuentre algunos de los ceros racionales de una función, incluso solo uno, los otros ceros a menudo se pueden encontrar mediante los métodos tradicionales de factorización. Enunciemos el teorema:

‘Si tenemos una función polinomial de grado n , donde ( n > 0) y todos los coeficientes son números enteros, entonces los ceros racionales de la función deben estar en la forma de p / q , donde p es un factor entero de término constante a 0 , yq es un factor entero del coeficiente de adelanto a n . ‘

Para ser claros, establezcamos nuevamente la forma de los ceros racionales. Los ceros racionales de la función deben tener la forma p / q . El número p es un factor del término constante a 0 . El número q es un factor del coeficiente de plomo un n . Veamos cómo funciona el teorema a través de un ejemplo: f ( x ) = 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 8 x + 3.

En esta función, el coeficiente de adelanto es 2; en esta función, el término constante es 3; en forma factorizada, la función es la siguiente: f ( x ) = ( x – 1) ( x + 3) ( x – 1/2).

La propiedad del producto cero nos dice que todos los ceros son racionales: 1, -3 y 1/2. Si x – 1 = 0, entonces x = 1; si x + 3 = 0, entonces x = -3; si x – 1/2 = 0, entonces x = 1/2. Los ceros son 1, -3 y 1/2.

Escribamos estos ceros como fracciones de la siguiente manera: 1/1, -3/1 y 1/2. Observe que cada numerador, 1, -3 y 1, es un factor de 3. También observe que cada denominador, 1, 1 y 2, es un factor de 2.

Ejemplo 1

Enumere los posibles ceros racionales de la siguiente función: f ( x ) = 2 x ^ 3 + 5 x ^ 2 – 4 x – 3.

El término constante es -3, por lo que todos los factores de -3 son numeradores posibles para los ceros racionales. El coeficiente de adelanto es 2, por lo que todos los factores de 2 son posibles denominadores para los ceros racionales.

Todas las posibles combinaciones de numeradores y denominadores son posibles ceros racionales de la función. Los posibles ceros racionales son los siguientes: +/- 1, +/- 3, +/- 1/2 y +/- 3/2.

Ejemplo 2

Encuentre los ceros racionales para la siguiente función: f ( x ) = 2 x ^ 3 + 5 x ^ 2-4 x – 3.

Ésta es la misma función del ejemplo 1. El teorema de los ceros racionales mostró que esta función tiene muchos candidatos para ceros racionales. Por lo tanto, necesitamos usar algunos métodos para determinar los ceros racionales reales, si los hay. Un buen método es la división sintética. Probemos con la división sintética.

Este método nos permitirá saber si un candidato es un cero racional. Volvamos a mostrar los posibles ceros racionales para esta función:

Posibles ceros racionales para el ejemplo 2

Hay ocho candidatos para los ceros racionales de esta función. El número -1 es uno de estos candidatos. Para determinar si -1 es un cero racional, usaremos la división sintética.

El problema de la división sintética muestra que estamos determinando si -1 es cero. La primera fila de números muestra los coeficientes de la función. Si -1 es un cero de la función, obtendremos un resto de 0; sin embargo, la división sintética revela un resto de 4. Por lo tanto, -1 no es un cero racional.

Podríamos seleccionar otro candidato de nuestra lista de posibles ceros racionales; sin embargo, usemos la tecnología para ayudarnos. Si graficamos la función, podremos reducir la lista de candidatos.

La gráfica de nuestra función cruza el eje x tres veces. Ciertamente parece que la gráfica cruza el eje x en x = 1. Si recuerdas, el número 1 también estaba entre nuestros candidatos para ceros racionales. Para determinar si 1 es un cero racional, usaremos la división sintética.

El problema de la división sintética muestra que estamos determinando si 1 es cero. La división sintética revela un resto de 0. Por lo tanto, 1 es un cero racional. En otras palabras, x – 1 es un factor de la función polinomial.

Los números de la fila inferior son coeficientes de la expresión polinómica que obtendríamos después de dividir la función original por x – 1.

Empezamos con una función polinomial de grado 3, por lo que esta expresión polinomial sobrante es de grado 2. En otras palabras, es una expresión cuadrática. Ahora podemos reescribir la función original.

Primero, mostremos el factor ( x – 1). A continuación, agreguemos la expresión cuadrática: ( x – 1) (2 x ^ 2 + 7 x + 3).

Podríamos seguir usando la división sintética para encontrar otros ceros racionales. Sin embargo, podría ser más fácil simplemente factorizar la expresión cuadrática, que podemos hacer de la siguiente manera: 2 x ^ 2 + 7 x + 3 = (2 x + 1) ( x + 3).

Volvamos a sumar el factor ( x – 1). Usando la propiedad del producto cero, podemos ver que nuestra función tiene dos ceros racionales más: -1/2 y -3.

2 x + 1 = 0
2 x = -1
x = -1/2

x + 3 = 0
x = -3

Ejemplo 3

Encuentre los ceros racionales de la siguiente función: f ( x ) = x ^ 4 – 4 x ^ 2 + 1.

Los únicos ceros racionales posibles son 1 y -1. Usemos de nuevo la división sintética. Ambos problemas de división sintética revelan un resto de -2. Por tanto, ni 1 ni -1 es un cero racional.

Esta función no tiene ceros racionales. Veamos la gráfica de esta función. El gráfico cruza claramente el eje x cuatro veces. Por tanto, todos los ceros de esta función deben ser ceros irracionales.

Resumen de la lección

El teorema de ceros racionales es un método para encontrar los ceros de una función polinomial. El teorema nos dice todos los posibles ceros racionales de una función. Mostramos la siguiente imagen al comienzo de la lección:

Los ceros racionales de una función polinomial tienen la forma p / q . El término a 0 es el término constante de la función y el término a n es el coeficiente principal de la función.

Usar la división sintética y la representación gráfica junto con este teorema nos ahorrará algo de tiempo. El teorema de los ceros racionales no nos dirá todos los ceros posibles, como los ceros irracionales , de algunas funciones polinomiales, pero es un buen punto de partida.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Describe el teorema de los ceros racionales
• Identificar la forma de los ceros racionales de una función polinomial
• Explica cómo usar la división sintética y las gráficas para encontrar posibles ceros.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador