Hallar la integral de e x
La función exponencial es una función muy intrigante. Es la única función cuya derivada es ella misma. Usamos esta idea y el teorema fundamental del cálculo para encontrar la integral de e x .
Paso 1:
El primer paso para encontrar la integral de e x es encontrar la anti-derivada de e x . Recuerde que una función, f ( x ), y su anti-derivada, F ( x ), están relacionadas de la siguiente manera:
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Es posible que conozca la expansión de la serie para e x :
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El signo de exclamación es la notación matemática de «factorial». Por ejemplo, ¡3! = 3 (2) (1) = 6. De manera similar, 2! = 2 (1) = 2. Tenga en cuenta que 0! = 1.
Bien, exploremos la anti-derivada de e x . ¿Qué pasa si esta anti-derivada, F ( x ), es igual a la serie de e x más una constante, C? En otras palabras:
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Si realmente hemos encontrado la anti-derivada para e x , entonces la diferenciación de F ( x ) debería ser igual a nuestra función, e x . Diferenciemos cada término de F ( x ):
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- La derivada de una constante es cero. Por tanto, la derivada de 1 y la derivada de C son ceros.
- La derivada de x es 1.
- La derivada de x 2 es 2 x , ¡pero el 2 se cancela con el 2! en el denominador (recuerde, 2! = 2 (1) = 2).
- La derivada de x 3 es 3 x 2 , ¡pero el denominador es 3! = 3 (2) (1), o en realidad, ¡3! = 3 (2!). Por lo tanto, los 3 se cancelan, ¡dejando un 2! en el denominador.
Sustituyendo estos resultados y simplificando:
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¿Ves como el siguiente término en el lado derecho será x 3 /3! ?
Pero este lado derecho es solo nuestra expresión en serie para e x .
Conclusión: la anti-derivada de e x es e x + C.
Paso 2
Nuestro segundo paso es utilizar el teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo vincula la integración y la diferenciación. Si F es una anti-derivada de f, entonces:
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El teorema también se aplica cuando tenemos límites de integración. En otras palabras:
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Para nuestro caso, f ( x ) = e x , y F ( x ) = e x + C. Por lo tanto, la integral indefinida de e x está dada por:
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Nota: F (b) – F (a) = e b + C – (e a + C) = e b – e a .
La constante C se cancela. Por tanto, la integral definida de e x viene dada por:
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Una aplicación fascinante
Como probablemente se dará cuenta, e x no es una función ordinaria. Tener a sí mismo como su derivado y anti-derivado conduce a resultados sorprendentes. Por ejemplo, digamos que queremos calcular la integral definida impropia:
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Esta integral es definida porque tenemos límites de integración: -∞ a t . A esto lo llamamos una integral impropia debido al ∞ en los límites de integración. El infinito no es un número real y no podemos simplemente agregar el valor. Tratamos esta integral usando la idea de un límite . En cambio, estamos viendo la integral como un enfoque -∞ y en su lugar encontramos la forma integral a a t . Recuerde, con un -∞ que se acerca, encontramos que es igual a e t – e a , con un -∞ que se acerca.
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El límite de e a cuando a va a -∞ es 0. Así:
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La respuesta no es e t + C; la respuesta es simplemente e t .
¡Asombroso! Si queremos el área bajo la curva desde -∞ hasta x = t de e x , la respuesta es simplemente e t . En la figura, encontramos todo el área hasta x = 2.5 (el área es la forma verde debajo de la curva azul).
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Numéricamente, no tenemos un número para -∞ pero podemos integrar desde algún número negativo arbitrario. Podemos repetir la integración numérica comenzando con valores negativos más y más a la izquierda. El cálculo numérico de esta área mediante software es:
- integrando de -1 a 2.5, área = 11.81461471…
- integrando de -10 a 2.5, área = 12.18244856…
- integrando de -100 a 2.5, área = 12.182493961…
- integrando de -1000 a 2.5, área = 12.182493960715…
Vemos que la respuesta converge a 12.1824 … ¿Qué hay de evaluar e 2.5 directamente?
e 2,5 = 12,182493960703…
Hemos integrado de -1000, y el cálculo del área difiere solo después de 10 lugares decimales del cálculo de la función directa (la diferencia es solo 1 parte de 10 mil millones, y -1000 está muy lejos de -∞).
Podemos decir con seguridad que toda el área bajo la curva de e x desde -∞ hasta t es simplemente e t .
Resumen de la lección
Esa fue mucha información, pero tomemos unos momentos para recapitular algunas de las cosas importantes que aprendimos sobre cómo encontrar la integral de e x .
La función exponencial es la única función cuya derivada es ella misma. Hay dos pasos principales para encontrar la integral de e x :
- Paso 1: Encuentra la anti-derivada de e x
- Paso 2: usa el teorema fundamental del cálculo. Recuerde que el teorema fundamental del cálculo vincula la integración y la diferenciación.
Ahora sabes cómo hallar la integral de e x . Más fácil de lo que pensaba, ¿verdad?
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