Rodrigo Ricardo

Encontrar probabilidades binomiales mediante fórmulas: proceso y ejemplos

Publicado el 4 noviembre, 2020

Probabilidades binomiales

Dakota está trabajando en un proyecto de investigación con sus amigos para una clase de gobierno. Él y sus amigos tienen que llamar a diez personas de su ciudad y preguntarles si votaron en las últimas elecciones. Dakota encontró una investigación anterior que dice que la probabilidad de que alguien vote en una elección en su ciudad es del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que Dakota y sus amigos encuentren a cinco personas que votaron?

Para resolver este problema, debe comprender los experimentos binomiales y las probabilidades. En esta lección, aprenderá cómo identificar probabilidades binomiales y resolver problemas usando la fórmula binomial.

Identificación de probabilidades binomiales

Primero, analicemos cómo se puede identificar un experimento binomial. Un experimento binomial es un experimento que contiene un número fijo de ensayos que dan como resultado solo uno de dos resultados: éxito o fracaso. Por ejemplo, una persona que lanza una moneda al aire diez veces para ver cuántas caras aparecen en los lanzamientos de la moneda sería un experimento binomial. Hay algunas cosas a tener en cuenta al aprender sobre experimentos binomiales:

  • Primero, los resultados deben ser independientes. Esto significa que el resultado de un ensayo no puede influir en otro. Podemos suponer que mientras Dakota y sus amigos están haciendo llamadas, la primera persona a la que llamen no tendrá ninguna influencia sobre la segunda persona a la que llamen, y así sucesivamente.
  • En segundo lugar, un experimento binomial solo debe tener dos resultados posibles. En este caso, los dos posibles resultados son la persona que votó o no.
  • En tercer lugar, hay un número fijo de ensayos en un experimento binomial. En el experimento de Dakota, llamará a diez personas; este es un número fijo que él y sus amigos han determinado antes de que comience el experimento.

Ahora que comprende los experimentos binomiales, practiquemos la búsqueda de probabilidades binomiales usando la fórmula binomial.

Encontrar una probabilidad binomial


La fórmula de probabilidad binomial
La fórmula de probabilidad binomial

Esta es la fórmula binomial. Antes de entrar en cómo usar esta fórmula, revisemos la información que hemos recopilado hasta ahora. Sabemos que Dakota y sus amigos están llamando a diez personas. Sabemos que hay un 20% de posibilidades de que las personas a las que llaman hayan votado en las últimas elecciones. También sabemos que Dakota y sus amigos quieren saber la probabilidad de que cinco de las diez personas hayan votado en las últimas elecciones. Entonces, ¿qué podemos hacer con estos números?

En primer lugar, tenemos que encontrar los valores de x , n , y p . La x representa el número de éxitos, la n representa el número de ensayos y la P representa la probabilidad de éxito en un ensayo individual. En nuestro caso, x representa el número de personas que votaron en las últimas elecciones.

Dakota y sus amigos quieren saber si 5 personas votaron en la última elección, por lo tanto x = 5. La n representa la cantidad de personas que Dakota y sus amigos llamarán, por lo tanto n = 10. La P representa la probabilidad de una prueba individual, y cada persona tiene un 20% de probabilidades de decir que sí, por lo tanto, P = .20. Cuando introducimos nuestros números en la fórmula, debería verse así. He codificado los números por colores para que pueda ver dónde pertenece cada uno en la fórmula de probabilidad binomial.

Fórmula de probabilidad binomial

Ahora, puede que se esté preguntando, ‘¿Qué significa la C ?’ La C significa combinación. Esto significa que estamos viendo la probabilidad de que una combinación de 5 personas digan que han votado en las últimas elecciones. No importa si son las primeras 5 personas, las últimas 5 personas o una combinación intermedia. En este caso, el orden no importa. Para resolver esta ecuación, primero necesitaremos encontrar el valor de C. La fórmula de combinación se ve así.


La fórmula de combinación
La fórmula de combinación

Puede notar que esta fórmula usa un signo de exclamación, también conocido como factorial en matemáticas. Los problemas de probabilidad y estadística no suelen utilizar factoriales, excepto cuando se trata de combinaciones. ¡Necesitará usar una calculadora gráfica o intentar una búsqueda en Internet de 10! para encontrar los valores factoriales. Para obtener más información sobre factoriales, consulte nuestras otras lecciones.

La combinación para esta probabilidad es 252. Esto significa que hay 252 combinaciones diferentes para este problema. Insertemos nuestra combinación en nuestra fórmula y resolvamos nuestra probabilidad binomial.

Trabajo para el ejemplo de fórmula de probabilidad binomial

Muy bien, aquí está el trabajo para nuestra fórmula de probabilidad binomial. En la tercera fila, notarás que inserté nuestro valor de combinación y reste 5 de 10 en el último exponente. En la siguiente fila, resto .20 de 1. Esta parte de la fórmula tiene mucho sentido. Si lo piensa lógicamente, hay un 20% de posibilidades de que una persona diga que sí a la pregunta de Dakota.

Esa es la probabilidad de éxito, pero ¿qué pasa con la probabilidad de fracaso? Eso es algo más que debe tenerse en cuenta. Si hay un 20% de posibilidades de éxito, también debe haber un 80% de posibilidades de fracaso. Si sumas los dos, ¡obtienes el 100%!

Bien, ahora veamos la siguiente fila. Aquí, he resuelto .20 a la 5ª potencia, que es 0,00032. En la siguiente fila, hago lo mismo para la probabilidad de falla, que es 0.32768. Ahora solo necesito multiplicar de izquierda a derecha. Primero, cuando multiplico 252 por 0.00032 obtengo 0.08064, y cuando lo multiplico por 0.32768 obtengo 0.0264241152, redondeado al 3%, lo que nos lleva a nuestra respuesta: hay un 3% de probabilidad de que 5 personas de cada 10 hayan votado en las elecciones del año pasado.

Resumen de la lección

Recuerde que un experimento binomial es un experimento que contiene un número fijo de ensayos que dan como resultado solo uno de dos resultados: éxito o fracaso. Podemos usar esta información para encontrar la probabilidad de ciertos números de éxito. Podemos hacer esto usando la fórmula de probabilidad binomial, que se ve así.


La fórmula de probabilidad binomial
La fórmula binomial

También necesitará encontrar la combinación usando la fórmula de combinación, que se ve así.


La fórmula de combinación
La fórmula de combinación

Recuerde, si tiene algún problema para resolver estas fórmulas, desglose y preste mucha atención al orden de las operaciones. ¡Consulte nuestras otras lecciones para practicar problemas con esta fórmula!

Los resultados del aprendizaje

Vea la lección en video, luego asegúrese de su capacidad para:

  • Enumere las propiedades de un experimento binomial
  • Indique las variables necesarias para calcular la probabilidad binomial
  • Escribe la fórmula de probabilidad binomial y la fórmula de combinación
  • Calcular una probabilidad binomial

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