Secuencias aritméticas
Hay todo tipo de secuencias aritméticas en el mundo. Puede usar algunos de ellos todos los días. Por definición, una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre cada par sucesivo de términos es la misma. Por ejemplo, cuando cuentas de 5 en 5, obtendrás una secuencia aritmética porque la diferencia entre cada par de términos es cinco.
- 5, 10, 15, 20,…
Es posible que estas secuencias no parezcan utilizadas para nada importante, pero en realidad tienen aplicaciones prácticas. Por ejemplo, una secuencia aritmética puede mostrarle cuánto cuesta ir a un parque de diversiones cuando el parque cobra una tarifa de entrada y una tarifa por recorrido. Si el parque cobra una tarifa de entrada de $ 10.00 y una tarifa por viaje de $ 2.00, entonces su costo total, basado en la cantidad de paseos que desea tomar, seguirá esta secuencia.
- $ 10, $ 12, $ 14, $ 16,…
La secuencia aritmética comienza en $ 10 para ningún viaje, luego pasa a $ 12 por un viaje, luego a $ 14 por dos viajes, y así sucesivamente.
La regla
Debido a que todas las secuencias aritméticas siguen un patrón similar, puedes usar una fórmula general para encontrar la fórmula de la secuencia. La fórmula es esta:
- una norte = una 1 + d (norte – 1)
La a n representa los términos de la secuencia donde n se refiere a la ubicación del término. Si n es igual a uno, entonces se refiere al primer término de la secuencia. La d representa la diferencia entre todos los números sucesivos de su secuencia. Esto se llama fórmula explícita para una secuencia aritmética.
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Dados dos términos
Las sucesiones aritméticas tienen la misma diferencia entre pares sucesivos de términos en la sucesión, por lo tanto, solo necesitas conocer los dos primeros términos de la sucesión para escribir la fórmula.
Vamos a ver. Prueba este problema.
Escribe la fórmula de la secuencia aritmética que comienza con 4, 7,….
Solo se le dan los dos primeros términos. Como tiene la regla de la fórmula explícita, todo lo que necesita saber es el primer término y la diferencia entre cada par sucesivo de términos. De los dos primeros términos, sabes que el primer término es un 4 y la diferencia entre este primer término y el segundo término es 7 – 4 = 3.
Los inserta en su fórmula y luego simplifica.
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- una norte = una 1 + d (norte – 1)
- una norte = 4 + 3 (norte – 1)
- una n = 4 + 3n – 3
- una n = 3n + 1
Deja las n en paz porque siguen siendo una variable. Son estas n las que le permiten usar esta fórmula para encontrar los otros términos de su secuencia. Son el número de ubicación del término que está buscando.
Al usar la regla para encontrar la fórmula de una secuencia aritmética, verá que su secuencia aritmética sigue la regla explícita 3n + 1 para todos sus términos. Esto significa que puede encontrar cualquier término en la secuencia simplemente ingresando la ubicación del término.
Entonces, si desea averiguar cuál es el décimo término de la secuencia, todo lo que necesita hacer es introducir un 10 por n y evaluar.
- una n = 3n + 1
- un 10 = 3 * 10 + 1
- un 10 = 30 + 1
- un 10 = 31
Esto te dice que tu décimo término es 31.
Probemos con otro problema.
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Escribe la fórmula de la secuencia aritmética que comienza con 10, 20,….
De los primeros dos términos, verá que su primer término es 10 y su diferencia entre los términos es 20 – 10 = 10. Ahora, puede insertar esta información en la regla para encontrar fórmulas.
- una norte = una 1 + d (norte – 1)
- una norte = 10 + 10 (norte – 1)
- una n = 10 + 10n – 10
- a n = 10n
Entonces, la fórmula para encontrar los términos en esta secuencia es 10n.
La regla recursiva
Con la mayoría de las secuencias aritméticas, también puede escribir fácilmente una fórmula recursiva. Una fórmula recursiva es una fórmula que se refiere a términos pasados. Para hacer esto, todo lo que necesita es el primer término y la diferencia entre sus términos.
Tu regla recursiva se verá así:
- a 1 = (primer término)
- a n = a (n – 1) + (diferencia entre términos)
Entonces, para la secuencia que comienza con 10, 20, …, la fórmula recursiva es esta:
- a 1 = 10
- una norte = una (norte – 1) + 10
Para la secuencia que comienza con 4, 7, …, la fórmula recursiva es esta:
- a 1 = 4
- una norte = una (norte – 1) + 3
Resumen de la lección
Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre cada par sucesivo de términos es la misma.
La regla explícita para escribir la fórmula de cualquier secuencia aritmética es la siguiente:
- una norte = una 1 + d (norte – 1)
La a n representa los términos de la secuencia donde n se refiere a la ubicación del término. La d representa la diferencia entre todos los pares sucesivos de su secuencia.
Para usar esta regla, todo lo que necesita saber son los dos primeros términos de la secuencia. Para encontrar la diferencia entre sus pares de términos, solo necesita restar el primer término del segundo término.
La fórmula recursiva seguirá este formato:
- a 1 = (primer término)
- a n = a (n – 1) + (diferencia entre términos)
Una fórmula recursiva es una fórmula que se refiere a términos pasados.
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