Exponenciales, logaritmos y logaritmo natural

¿Qué es un exponencial?

Volvamos a un científico que estudia un viejo libro de matemáticas. Quiere saber cuántos años tiene utilizando la datación por carbono. Sabe que necesita usar una exponencial para hacer esto. Tiene y = a ^ x , donde a es una base y x es el exponente . Puede recordar todo lo que necesita saber sobre potencias y exponenciales si piensa en el problema del conejo. Empiezas con dos conejitos, luego se multiplican. Primero tienes 2, luego tienes 2 * 2 … * 2 * 2 * 2. Tienes 2 ^ x conejitos, donde estás multiplicando 2 por sí mismo x veces. En el caso de los conejitos, 2 fue nuestra base.

Reglas del tronco natural

Pero hay un tipo especial de base que vemos en todas partes del mundo físico. Esa base es e . e es solo una constante, como pi , excepto que e es el número de Euler, y es aproximadamente 2.72.

Reglas del registro natural

Ahora, e sigue todas las propiedades de otras potencias, como ( e ^ x ) ( e ^ y ) = e ^ ( x + y ). e ^ x / e ^ y = e ^ ( x – y ). e ^ 0 = 1. ( e ^ n ) ^ m = e ^ ( nm ). En todos estos casos, e es solo 2,72. Cuando digo e ^ 0 = 1, lo que estoy diciendo es que 2.72 … ^ 0 = 1.

Lo que tiene de especial e ^ x es su inverso. f (x) = e ^ x , pero la inversa de f (x) es el logaritmo natural de x : ln ( x ). Entonces f ^ -1 ( f (x) ) = ln ( e ^ x ) = x . Repasemos algunas propiedades de ey del logaritmo natural. Sabemos que e ^ (ln ( x )) debe ser x . Sabemos que ln ( e ^ x ) = x . Pero también sabemos que ln ( x / y) = ln ( x ) – ln ( y ). De manera similar, ln ( xy ) = ln ( x ) + ln ( y ). ln ( x ^ n ) = n ln ( x ).

Datación por carbono mediante registro natural

Así que usemos estas propiedades para ayudar a fechar un viejo libro de matemáticas. Usemos la datación por carbono. La vida media de un tipo particular de carbono es de 5.730 años. La datación por carbono se realiza estableciendo el porcentaje de este tipo especial de carbono como igual ae a un número constante multiplicado por t ( e ^ ( Ct )).

y = 10 ^ x es lo mismo que base logarítmica 10 (y) = x

Si establece el porcentaje de carbono que tiene y sabe cuál es esta C , puede calcular la antigüedad de su artículo. En primer lugar, tenemos que averiguar lo que este número C es. Dije que la vida media del carbono es de 5.730 años. Eso significa que después de 5.730 años, nos queda el 50% de nuestro carbono. Entonces 50% de carbono = e ^ ( C (5730)). Bueno, 50% de carbono es lo mismo que .5, así que tengo la ecuación .5 = e ^ (5730 C ). Para resolver C , primero necesito tomar el logaritmo natural tanto del lado izquierdo como del lado derecho. Obtengo ln (.5) = ln ( e ^ (5730 C )). Si uso mi propiedad que ln ( e ^ x) = X , el lado derecho es igual a 5,730 C . Si divido tanto en el lado izquierdo y derecho por 5730, puedo calcular C . C = ln (.5) / 5730, que es aproximadamente igual a -0.000121. Pongamos eso de nuevo en nuestra ecuación original. El porcentaje de carbono que tenemos es igual a e ^ (- 0,000121 t ). Entonces, si coloco el porcentaje de carbono que tengo en el lado izquierdo, puedo resolver esta ecuación para la edad de mi material.

Digamos que hay un 30% de este carbono especial en nuestro libro de matemáticas. Voy a tomar el logaritmo natural tanto del lado izquierdo como del lado derecho. Obtengo ln (.3) = ln ( e ^ (- 0.000121 t )). Sé que ln ( e ^ x ) = x , por lo que el lado derecho se simplifica a -0.000121 t . Puedo dividir ambos lados por ese número, y encuentro que t = (ln (.3)) / – 0.000121, que tiene aproximadamente 9,950 años. Es un libro de matemáticas muy antiguo. Si bien vemos mucho ey el tronco natural en el mundo físico, hay otras bases que tienen propiedades similares.

Más reglas de logaritmos

Antes teníamos y = e ^ x , donde e era la base. También podemos tener y = 10 ^ x , donde 10 es ahora nuestra base. Cuando y = e ^ x , la inversa es el logaritmo natural. Entonces, en el caso de y = e ^ x , el logaritmo natural de y = x . Si tenemos una base diferente, escribimos esto no como un registro natural, sino como un registro con alguna base. Entonces, si tenemos y = 10 ^ x , entonces la inversa es base logarítmica 10. Entonces y = 10 ^ xes lo mismo que decir log base 10 ( y ) = x .

Base logarítmica b donde b es cualquier número de b igual a 1

Aquí hay una conexión importante. El registro natural es exactamente lo mismo que escribir el registro base e . Pero es tan común que simplemente lo llamamos registro natural. Como en el caso de los troncos naturales , base logarítmica 10 (10 ^ x ) = x . base logarítmica b , donde b es cualquier número, de b es igual a 1. base logarítmica b (1) = 0; eso es como decir que el logaritmo natural de 1 es igual a 0. El logaritmo natural de e es igual a 1. Todas estas propiedades son iguales, sin importar si estás mirando el logaritmo natural o el logaritmo.

Resumen de la lección

Así que repasemos. Si tiene una ecuación como y = a ^ x , llamamos a la base y x el exponente . La inversa de esto es base logarítmica a ( y ) = x . Si la base es e , log base e es lo mismo que decir logaritmo natural.

Tanto los exponentes como los registros tienen propiedades similares. ( e ^ x ) ( e ^ y ) = e ^ ( x + y ). e ^ x / e ^ y = e ^ ( x – y ). Y e ^ 0 = 1. ( e ^ n ) ^ m = e ^ ( nm ).

En el lado del registro, ln ( xy ) = ln ( x ) + ln ( y ). ln ( x / y ) = ln ( x ) – ln ( y ).

De manera similar, ln ( xy ) = ln x + ln y . ln ( x ^ n ) = n ln ( x ). ln (1) = 0 y ln ( x ^ n ) = n ln ( x ). Todo esto es cierto porque e ^ (ln x ) = x y ln ( e ^ x ) = x .