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Forma de punto-pendiente: Definición y descripción general

Publicado el 16 enero, 2024

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal se compone de uno o más términos que son constantes o el producto de una constante y una sola variable (como 2 x ). Los términos de la variable deben ser a la potencia simple y no al cuadrado, al cubo o más, pero la ecuación puede tener más de una variable.

Las ecuaciones lineales tienen muchos usos prácticos; se utilizan ampliamente en banca y finanzas y se pueden utilizar para ayudar con las finanzas personales. También tienen aplicaciones científicas y de ingeniería.

A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones lineales :

y = 2 x + 5

3 m – 2 n = 6

a / 2 = b + 1

A continuación, se muestran algunos ejemplos de ecuaciones no lineales :

y ^ 2 = x + 2

√5 x – 2 y = 7

4 / x ^ 2 + 2 y + 3 = 0

Escribir ecuaciones lineales

Hay muchas formas diferentes de escribir una ecuación lineal, que incluyen:

  • Forma pendiente-intersección : y = mx + b . Esta es la forma más común de una ecuación lineal, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y .
  • Forma punto-pendiente : ( yy 1) = m ( xx 1)
  • Forma general : Ax + By + C = 0 ( A y B no pueden ser ambos cero)

Forma punto-pendiente

En forma de punto-pendiente (que se escribe así: ( yy 1) = m ( xx 1)), y 1 es el valor y del punto conocido en la línea, m es la pendiente y x 1 es el valor x del punto conocido.

Esta forma de ecuación lineal se deriva de la ecuación para encontrar la pendiente de una línea. La pendiente de una línea es la relación entre la elevación de la línea y su movimiento horizontal, o como se conoce más comúnmente, elevación sobre carrera.

La ecuación para encontrar la pendiente de una línea es:

m = ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1)

Puede reorganizar esta fórmula multiplicando ambos lados de las ecuaciones por ( x 2 – x 1) para obtener:

( y 2 – y 1) = m ( x 2 – x 1)

La forma punto-pendiente de una ecuación lineal es más útil para encontrar un punto en una línea cuando se conoce la pendiente y otro punto en la línea. También se puede usar para encontrar un punto en la línea cuando conoce otros dos puntos.

Ejemplos

Repasemos ahora algunos problemas de ejemplo para ayudar a consolidar todo lo que hemos cubierto.

Ejemplo 1

Una recta pasa por el punto (1, 3) con una pendiente de 2. ¿Cuál es la ecuación de la recta? Comience usando la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación.

( yy 1) = m ( xx 1)

y – 3 = 2 ( x – 1)

Luego simplifica.

y – 3 = 2 x – 2

y = 2 x + 1

Ejemplo # 2

¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por el punto (-2, 4) y el origen? El primer paso es encontrar la pendiente de la línea.

m = ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1)

No importa qué punto sea 1 o 2; solo recuerde mantenerlo constante durante todo el problema.

m = (4 – 0) / (- 2 – 0)

m = 4 / -2 = -2

Entonces, la pendiente de la línea que pasa por el origen y el punto (-2, 4) en el plano de coordenadas es -2.

El siguiente paso es encontrar la ecuación para esa línea. Para hacer esto, inserta los números que conoces en la fórmula punto-pendiente. Nuevamente, no importa qué punto uses, siempre y cuando seas consistente. Siempre que sea posible, use el origen porque los ceros facilitan la simplificación de la ecuación.

( yy 1) = m ( xx 1)

y – 0 = -2 ( x – 0)

y = -2 x

Solo para mostrarle que cualquiera de los puntos funcionará, conectemos el punto (-2, 4) y veamos qué sucede.

y – (4) = -2 ( x – (-2))

y – 4 = -2 x – 4

y = -2 x

Ejemplo # 3

Digamos que está planeando una recaudación de fondos. Los datos de recaudaciones de fondos anteriores revelan que cuando 700 personas asistieron a la recaudación de fondos, el grupo ganó $ 1000, y cuando 1000 personas asistieron a la recaudación de fondos, el grupo ganó $ 1500. Tu objetivo es ganar $ 2500. ¿Cuántas personas necesitarán asistir a su evento de recaudación de fondos para alcanzar su meta? (Suponga una relación lineal).

Este problema agrega un paso más al final del problema, pero lo primero que debemos hacer es encontrar la ecuación para la relación lineal. Como conocemos dos puntos (asistentes y dinero ganado), podemos usar esos puntos para encontrar la ecuación.

Primero, determine la pendiente de la línea usando los puntos (700, $ 1000) y (1000, $ 1500).

m = (1500 – 1000) / (1000 – 700)

m = 500/300 = 1,6

Ahora, usa la pendiente para escribir una ecuación:

( yy 1) = m ( xx 1)

y – 1000 = 1,6 ( x – 700)

y – 1000 = 1,6 x – 1120

y = 1,6 x – 120

Ahora, para el paso final: dado que sabemos que la meta de recaudación de fondos es $ 2500, puede introducir y en la ecuación. Reemplaza y , porque ahí es donde estaba el dinero en todos los demás puntos utilizados hasta ahora en este ejemplo.

2500 = 1,6 x – 120

1,6 x = 2620

x = 1637,5

Resumen de la lección

La forma de pendiente del punto de una ecuación lineal es ( y – y 1) = m ( x – x 1) y es útil para encontrar la ecuación de una recta cuando conoces un punto a lo largo de la recta y la pendiente de la recta. Se deriva de la ecuación para encontrar la pendiente de una recta y tiene usos prácticos en muchas áreas de las matemáticas y el mundo real.

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