Fórmula y proceso de distribución de Poisson

Distribución de Poisson

Una distribución de probabilidad es una función matemática utilizada para predecir la probabilidad de un evento. Las funciones de probabilidad tienen el sabor de ser continuas o discretas, la diferencia entre predecir la temperatura y predecir si un jugador de baloncesto hará un tiro libre. Lo primero ocurre en un rango continuo y lo segundo ocurre en partes discretas (es decir, se puede contar con números enteros: 1, 2, 3, etcétera). La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta que puede ser útil para predecir la probabilidad de que ocurra un evento, dado que el evento cumple con criterios específicos. ¿Qué criterios se deben cumplir para usar la distribución de Poisson para modelar un evento de manera efectiva?

¿Qué es la distribución de Poisson? La distribución de Poisson da la probabilidad de que ocurra un evento en un rango finito (a menudo en un intervalo de tiempo, espacio, área o volumen). Por ejemplo, la distribución de Poisson puede predecir la probabilidad de que ocurra un evento durante un mes o la probabilidad de que ocurra un evento dentro de los límites de una forma geométrica. Además de esta noción básica de modelar un evento durante algún intervalo (donde el intervalo depende del ejemplo específico), se deben cumplir dos criterios específicos para que la distribución de Poisson se use con precisión. Existe una tasa conocida y constante de ocurrencia del evento (dentro del intervalo en cuestión), y la probabilidad de que ocurra el evento es independiente de los eventos que ocurran antes y después.

• Por ejemplo, supongamos que alguien quisiera modelar cuántas tormentas de lluvia ocurren en una región tropical durante todo el verano. La distribución de Poisson puede predecir tal probabilidad ya que se cumplen ambos criterios. El análisis de los datos anteriores de esta región puede resultar en encontrar una cantidad promedio constante de tormentas de lluvia durante los últimos años durante el verano, y cada tormenta de lluvia ocurre independientemente de cualquier otra. Una tormenta de lluvia a mediados de junio tiene un efecto insignificante sobre si ocurre o no una tormenta de lluvia a mediados de agosto. O, en otras palabras, saber que se produjo una tormenta de lluvia en cualquier momento durante el verano en esta región no brinda ninguna información útil sobre cuándo ocurrirá la próxima tormenta de lluvia.
• Otro ejemplo de la utilidad de distribución de Poisson es si alguien quisiera predecir cuántos goles marcaría su equipo de fútbol favorito contra su rival. La cantidad total de goles anotados contra este equipo en el pasado, dividida por la cantidad de veces que han jugado en total, dará la tasa de anotación promedio, y cada gol ocurre independientemente de cualquier otro gol anotado.
• Un ejemplo más de donde la distribución de Poisson es ventajosa se relaciona con la biología del ser humano. La medición de la frecuencia cardíaca transpira en forma discreta, la cantidad total de veces que el corazón late en un intervalo de tiempo dado (dado como un número entero). La distribución de Poisson puede predecir la probabilidad de que la frecuencia cardíaca de una persona caiga dentro de un rango específico. Al mismo tiempo, experimentan un cambio de entorno, por ejemplo, durante un paseo en montaña rusa o una rutina de ejercicios. Hay un intervalo de tiempo en cuestión en el que se puede medir el latido del corazón para encontrar una tasa promedio. El evento de aceleración o desaceleración del ritmo cardíaco será independiente de los latidos del corazón en el pasado. Una caída repentina en una montaña rusa puede dispararla rápidamente. Un período de descanso en una rutina de ejercicios puede ralentizarla. Todavía,

En todos estos ejemplos, se puede usar la distribución de Poisson porque los datos están disponibles para encontrar una tasa promedio constante de ocurrencia del evento (durante un intervalo de tiempo determinado), y la probabilidad de que ocurran los eventos es independiente de que hayan ocurrido en el pasado. .

Fórmula de distribución de Poisson

¿Cómo se usa la distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que ocurra un evento, dado que cumple con los criterios especificados? La fórmula de distribución de Poisson viene dada por: {eq}P(X=k)= \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} {/eq} donde

• {eq}\lambda > 0 {/eq} : el valor esperado de la variable aleatoria {eq}X {/eq} (la tasa promedio en un intervalo dado)
• {eq}k {/eq} : el número de eventos exitosos
• {eq}e {/eq} : número de Euler ( {eq}\approx 2.71828 {/eq})
• ! : operación factorial (por ejemplo, {eq}4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 {/eq})

Debido a que la distribución de Poisson es un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta, esto significa que la variable {eq}k {/eq} debe ser un número entero positivo (es decir, no puede ser una fracción ni un decimal). De manera similar, {eq}\lambda {/eq} debe ser un número real positivo ya que la tasa promedio de ocurrencia de un evento no puede ser negativa.

Ejemplos de distribución de veneno

• 1. Suponga que una ciudad recibe un promedio de 7 tormentas de lluvia cada mes de abril. Usando la fórmula de distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que esta ciudad tenga 9 tormentas de lluvia el próximo abril? Esta es la fórmula: {eq}\lambda = 7 {/eq} y {eq}k = 9 {/eq}. Entonces {eq}P(X=9)= \frac{7^{9}e^{-7}}{9!} \approx 0.1014 \approx 10 {/eq}%
• 2. Un banco pequeño abre un promedio de 4 cuentas nuevas todos los días. ¿Cuál es la probabilidad de que este banco abra 30 cuentas nuevas en una semana? {eq}\lambda = 28 {/eq} y {eq}k = 30 {/eq}. Entonces {eq}P(X=30)=\frac{28^{30}e^{-28}}{30!} \approx 0.0677 \approx 6.8 {/eq}%
• 3. Suponga que un corredor de bolsa hace un promedio de una transacción cada 5 días. Utilizando una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que este comerciante no realice una sola operación en los próximos 5 días? {eq}\lambda = 1 {/eq} y {eq}k = 0 {/eq}. Entonces {eq}P(X=0) = \frac{1^{0}e^{-1}}{0!} = e^{-1} \approx 0.3679 \approx 36.8 {/eq}%
• 4. Todos los años, un pequeño pueblo organiza una carrera de maratón para que participen los lugareños. El primer año de celebración del maratón se sumaron un total de 34 atletas. El segundo año se sumaron 52 atletas. Y el tercer año, un total de 40 atletas corrieron en la carrera. ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 30 personas se unan a la carrera del próximo año? El promedio de atletas que corren en la carrera viene dado por: {eq}\frac{34 + 52 + 40}{3} = 42 {/eq}. Entonces {eq}\lambda = 42 {/eq} y {eq}k = 30 {/eq}. Así {eq}P(X=30) = \frac{42^{30}e^{-42}}{30!} \approx 0.0108 \approx 1.1 {/eq}%
• 5. Usando el ejemplo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que entre 30 y 35 (inclusive) personas se unan a la carrera del próximo año? Aquí, debe realizarse el cómputo de seis cálculos separados, seguido de sumarlos para obtener la probabilidad total. {eq}\lambda {/eq} no cambia para ninguno de los cálculos ya que el número promedio de corredores permanece igual, pero {eq}k {/eq} oscilará entre 30 y 35.
• {eq}P(X=30) = \frac{42^{30}e^{-42}}{30!} \aprox. 0,0108 \aprox. 1,1 {/eq}%
• {eq}P(X=31) = \frac{42^{31}e^{-42}}{31!} \aprox. 0,0146 \aprox. 1,5 {/eq}%
• {eq}P(X=32) = \frac{42^{32}e^{-42}}{32!} \aprox. 0,0192 \aprox. 1,9 {/eq}%
• {eq}P(X=33) = \frac{42^{33}e^{-42}}{33!} \aprox. 0,0244 \aprox. 2,4 {/eq}%
• {eq}P(X=34) = \frac{42^{34}e^{-42}}{34!} \aprox. 0,0302 \aprox. 3 {/eq}%
• {eq}P(X=35) = \frac{42^{35}e^{-42}}{35!} \aprox. 0,0362 \aprox. 3,6 {/eq}%

Por tanto, {eq}1,1 + 1,5 + 1,9 + 2,4 + 3 + 3,6 = 13,5 {/eq}%

Resumen de la lección

La distribución de Poisson es un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta que se puede usar cuando un evento dado ocurre a una tasa constante conocida , y cada evento ocurre independientemente de todos los demás eventos. Se utiliza para predecir la probabilidad de que ocurra un evento discreto en un intervalo de tiempo, distancia o área. La fórmula de distribución de Poisson está dada por: {eq}P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} {/eq} donde {eq}\lambda {/eq} es la tasa promedio constante de ocurrencia del evento, y {eq}k {/eq} es la cantidad de eventos exitosos. La distribución de Poisson se puede aplicar a una amplia variedad de dominios, incluidas las ciencias ambientales, los negocios y las finanzas, y la biología y la química, solo por nombrar algunos.