Función creciente: definición y ejemplo

Función creciente

Imaginemos que salimos a caminar. Estamos subiendo una colina y notamos que nuestra altura sobre el nivel del mar aumenta a medida que aumenta la cantidad de tiempo que caminamos. Si tuviéramos que considerar nuestra altura sobre el nivel del mar, y , como una función de la cantidad de tiempo que estamos caminando, x , diríamos que y aumenta cuando x aumenta mientras estamos en esa colina. En matemáticas, diríamos que cuando caminamos cuesta arriba, nuestra función es una función creciente .

Función creciente frente a función estrictamente creciente

Hay funciones que siempre van en aumento. Por ejemplo, imagina que estás en la tienda y compras unas pelotas de béisbol que cuestan $ 3 cada una. Su costo total, llámelo c , es una función de cuántas pelotas de béisbol compra, llámelo x , y se puede representar como c ( x ) = 3 x . Tenga en cuenta que su costo total siempre aumentará a medida que aumente la cantidad de pelotas de béisbol que compre. Esta función siempre está aumentando. Cuando una función siempre está aumentando, la llamamos función estrictamente creciente .

Vemos por qué nuestro ejemplo de caminar no es una función estrictamente creciente. A veces el camino o sendero por el que caminamos va cuesta arriba, a veces cuesta abajo y, a veces, es llano, por lo que esto no aumenta estrictamente si consideramos todo el tiempo que estamos caminando. Por lo tanto, decimos que la función aumenta durante los intervalos de tiempo que caminamos cuesta arriba.

Es fácil entender que cuando hay secciones cuesta abajo en nuestra caminata, nuestra función solo aumenta durante ciertos intervalos de tiempo de nuestra caminata. Es decir, cuando vamos cuesta arriba. Quizás se pregunte qué significa esto para una función cuando es constante o en términos de nuestra función de caminar, cuando la carretera es plana. En otras palabras, ¿qué pasaría si fuéramos a caminar y nuestra ruta consistiera solo en tramos planos y tramos cuesta arriba sin tramos cuesta abajo? Cuando este es el caso, todavía diríamos que nuestra función que representa este paseo aumenta, pero no diríamos que aumenta estrictamente. Sin embargo, si tuviéramos que hacer una caminata que fuera estrictamente cuesta arriba sin secciones cuesta abajo o planas, entonces diríamos que la función que representa esta caminata es estrictamente creciente.

Creciente frente a estrictamente creciente

Expliquemos esto más detalladamente observando las gráficas de funciones.

Gráficos y funciones crecientes

Es fácil determinar si una función está aumentando al observar la gráfica de una función. Cuando una función aumenta, la gráfica de la función aumenta de izquierda a derecha. Considere la función f ( x ) = 2 ^ x . El gráfico de esta función se muestra a continuación.

Función estrictamente creciente

Observe que este gráfico siempre se eleva de izquierda a derecha. Es fácil ver que la función aumenta estrictamente. Ahora considere la función g ( x ) = x ^ 2 que se muestra en el siguiente gráfico.

Vemos que la gráfica cae de izquierda a derecha cuando x <0 y aumenta de izquierda a derecha cuando x > 0. Por lo tanto, no llamaríamos a esta función estrictamente creciente ya que no aumenta en todas partes. En cambio, diríamos que g ( x ) = x ^ 2 es una función creciente cuando x > 0.

Cuando la gráfica de una función siempre está aumentando de izquierda a derecha, es una función estrictamente creciente. Cuando siempre está aumentando de izquierda a derecha o plano, entonces es una función creciente, pero no una función estrictamente creciente. Por último, cuando el gráfico sube y baja de izquierda a derecha en diferentes intervalos, la función solo aumenta en ciertos intervalos.

Determinar si una función está aumentando sin un gráfico

Cuando no podemos observar la gráfica de una función, podemos usar la derivada de la función para determinar si está aumentando. Como recordatorio, la derivada de una función es la tasa de cambio de y con respecto ax en un punto dado de una función. Cuando pensamos en esto, notamos que si la tasa de cambio es positiva, entonces y aumenta cuando x aumenta, y esta es la definición de una función creciente. Por lo tanto, si la derivada de una función es positiva, entonces la función aumenta.

Consideremos nuestro ejemplo de g ( x ) = x ^ 2. La derivada de g ( x ) = x ^ 2 es g ‘( x ) = 2 x . Dado que multiplicamos x por el número positivo 2, es fácil ver que g ‘es positivo cuando x es positivo y negativo cuando x es negativo. Esto nos dice que g aumenta cuando x es positivo, tal como observamos en su gráfica.

Ahora considere nuestro ejemplo de béisbol representado por la función c ( x ) = 3 x . La derivada de esta función es c ‘( x ) = 3. Sabemos que 3 es siempre positivo, entonces, ¿qué nos dice esto? Lo adivinó, la función c ( x ) siempre está aumentando, por lo que es una función estrictamente creciente. Podemos observar esto observando la gráfica de c ( x ) = 3 x .

Función estrictamente creciente

Resumen de la lección

Se dice que una función aumenta si y aumenta cuando x aumenta. Cuando una función siempre aumenta, decimos que la función aumenta estrictamente. Hemos visto cómo se ve la gráfica de una función cuando aumenta. Cuando una función aumenta, su gráfica aumenta de izquierda a derecha. Cuando no podemos observar la gráfica de una función, podemos verificar la derivada de la función para determinar si está aumentando. Cuando la derivada de una función es positiva, la función aumenta. Cuando usamos toda esta información en conjunto, obtenemos una comprensión profunda de lo que significa que una función esté aumentando. ¡Es posible que nunca vuelva a pensar en salir a caminar de la misma manera!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador