Función de distribución acumulativa: fórmula y ejemplos

Probabilidad de lanzamiento de dados

Digamos que tu hermana, Nikki, y su amiga, Becky, están pasando el rato y jugando juegos de mesa. Al igual que con muchos juegos de mesa, están jugando un juego de dados que consiste en tirar los dos dados y mover las piezas del juego alrededor de un tablero. Mientras juegan, se preguntan sobre la probabilidad de lanzar ciertos números cuando tiran los dados. Mediante el uso de probabilidades, los porcentajes de lanzar ciertos números se pueden calcular con precisión. Nikki estaba buscando en Internet y encontró una tabla que indica las posibilidades de que saquen ciertos números. Miran la tabla, que puedes ver aquí:

Probabilidad de resultados al lanzar dos dados

Usando la tabla, la probabilidad de que saquen un cinco con dos dados es 4/36 o 11,1%. Aprecian la mesa y deciden mantenerla fuera mientras juegan.

Función de distribución acumulativa

Becky tiene un problema mientras se prepara para lanzar los dados. Necesita sacar algo menos de seis o aterrizará en un mal lugar en el tablero y tendrá que pagar el alquiler a Nikki. Se pregunta cuáles son sus posibilidades de éxito. Para determinar eso, puede usar la función de distribución acumulativa.

La función de distribución acumulada (FX) da la probabilidad de que la variable aleatoria X sea ​​menor o igual a un cierto número x . Su fórmula es:

para todo R. R en una tirada de dados es el rango de resultados o {2 … 12}

En general, podemos suponer que la probabilidad de que sea inferior a dos es cero, ya que no se puede lanzar un uno con dos dados. Además, que la probabilidad de todos los números en un rango definido será igual a 1 o 100%.

Entonces, volviendo al problema de Becky, necesita sacar un cinco o menos o tendrá problemas en el juego. Usando la fórmula de distribución acumulativa, su problema se ve así:

F X (5) = P ( X <_ 5) que es la probabilidad (P) de que la tirada de dados ( X ) sea menor o igual a cinco ( x ).

Necesita que los dados muestren un 2, 3, 4 o 5 para estar segura. Usando la tabla, suma las razones de 2, 3, 4 y 5, que son 1/36, 2/36, 3/36 y 4/36. Ella los suma y obtiene 10/36 o 27,7%.

Ella piensa que eso es al menos un poco mejor que 1 de cada 4, ¡así que tendrá que ser valiente y darles una vuelta!

Resolviendo el rango de resultados

La función de distribución acumulativa también se puede utilizar para resolver la probabilidad de una variedad de resultados. Nikki está contando espacios en el tablero y se da cuenta de que necesita sacar un 6, 7 u 8 para que su pieza caiga donde quiere que vaya. Puede averiguar cuáles son sus posibilidades utilizando esta fórmula que utiliza la función de distribución acumulativa. Se parece a esto:

Para que la tirada de los dados sea mayor que a pero menor o igual que b , inserta los valores de F X en la fórmula. La tirada de dados es X y Nikki necesita que sea menor que ocho pero mayor que cinco, ya que necesita al menos un seis. Entonces, sea b = 8 y a = 5. Puede resolverlo de la siguiente tabla completando las razones acumulativas.

Probabilidades de lanzamiento de dados con valores acumulativos

Al poner su problema en la fórmula, parece P (5 < X <_ 8) = F X (8) – F X (5) = 26/36 – 10/36 = 16/36 o 44.4%. Ella piensa que es mejor de lo que pensó que sería, ¡vamos, dados de la suerte!

Resolver para una mayor probabilidad

Dado que la probabilidad para todo el rango de resultados es 1 o 100%, F X (12) = 1. Eso facilita la resolución de problemas mayores que usando la fórmula anterior.

Cuando Becky necesita sacar algo mayor que siete para ganar el juego, use la fórmula P ( a < X <_ b ) = F X ( b ) – F X ( a ) para calcular sus posibilidades de éxito.

Sea b = 12 y a = 7.

F X (12) – F X (7) = 1 – 21/36 = 36/36 – 21/36 = 15/36 o 42% es su probabilidad de sacar algo mayor que siete.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido aquí. La función de distribución acumulada (FX) da la probabilidad de que la variable aleatoria X sea ​​menor o igual a una cierta cantidad x . Su fórmula es:

Sumar los valores de todos los resultados menores o iguales ax dará la solución.

Se usa otra fórmula que usa valores de función de distribución acumulativos para calcular la probabilidad de resultados dentro de ciertos rangos, o mayores que un valor de x . Está:

Aquí es donde b es el valor máximo de la variable aleatoria X y una es el valor menor que X .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador