Función gamma: propiedades y ejemplos

Integrales impropias

Mientras aprende a integrar, trabajará con dos tipos principales de integrales, integrales definidas e integrales indefinidas. La diferencia entre los dos es que las integrales definidas tienen límites de integración y las integrales indefinidas no. Cuando empiece a trabajar con integrales definidas, utilizará números reales simples para sus límites de integración, pero pronto verá que es posible hacer más. Es muy común ver los límites superiores de integración establecidos en infinito y los límites inferiores establecidos en infinito negativo.

Ejemplos de una integral indefinida, una integral definida propia y una integral definida impropia

Cualquier integral definida que tenga uno o más límites infinitos de integración, o un integrando que se acerque al infinito dentro de sus límites de integración, se conoce como integral impropia . Las integrales incorrectas aparecen todo el tiempo en cálculo y otros cursos de matemáticas de nivel superior. En esta lección veremos las propiedades de una función famosa definida por una integral impropia conocida como función gamma.

Integrales de Euler

La función gamma se define para x > 0 en forma integral mediante la integral impropia conocida como integral de Euler de segundo tipo .

Como su nombre lo indica, también existe una integral de Euler del primer tipo. Esta integral define lo que se conoce como función beta. Sin embargo, la función beta también puede verse como una combinación de funciones gamma.

Un ejemplo de dónde puede ver las funciones gamma y beta es dentro del campo de las estadísticas. Estos surgen dentro de las distribuciones gamma y beta con las que trabajará a menudo allí.

Conexión factorial gamma

Si bien es estándar definir la función gamma en forma integral mediante la integral de Euler del segundo tipo, también puede verse como una extensión de la función factorial cuando n es un número entero positivo.

Es mucho más agradable trabajar con este método que la integral de Euler cuando es posible, porque generalmente es más rápido resolver un factorial simple que una integral. Veamos un ejemplo rápido donde n = 6.

Para demostrar que esta es una forma precisa de representar la función gamma, trabajaremos juntos en una prueba. Antes de comenzar con la prueba, hay un conocimiento preliminar que necesitamos. Es que lo siguiente es cierto para n > 1.

Ahora, para comenzar a trabajar con la prueba de la propiedad, expandimos Γ ( n ) de la siguiente manera.

Ahora tenemos Γ (1) multiplicado por un coeficiente grande. Este coeficiente, como resulta, es la definición de ( n -1) !.

Por lo tanto, lo siguiente es cierto.

A continuación, necesitamos demostrar que Γ (1) = 1, y esto se puede hacer trabajando a través de la integral de Euler del segundo tipo.

Finalmente, completamos la demostración sustituyendo los resultados de Γ (1) en la fórmula Γ ( n ).

Otras propiedades comunes

Junto con la función factorial, hay algunas otras propiedades destacadas de la función gamma que vale la pena ver. El primero de los cuales es el siguiente.

Podemos ver un ejemplo de esta propiedad trabajando mediante una simple comparación con la forma factorial estándar de la función gamma con n = 4.

Hasta ahora hemos estado trabajando principalmente con la función gamma usando números enteros, ya que nos hemos centrado en su forma factorial. Las siguientes tres propiedades mostrarán la función gamma operando en fracciones y números imaginarios, comenzando con la propiedad que nos dice lo que obtenemos al resolver para Γ (1/2).

Esta propiedad es en realidad un caso especial de la tercera propiedad que veremos, que encuentra la función gamma de cualquier número entero sobre dos.

Puedes ver que cuando n = 1, obtenemos la raíz cuadrada de π.

Ahora, para los números imaginarios, deberá usar el valor absoluto de la función gamma (tenga en cuenta que sinh en esta propiedad se refiere a la función del seno hiperbólico).

A continuación, veamos un par de propiedades nombradas de la función gamma. Primero está la fórmula de reflexión de Euler . De manera similar a la propiedad anterior, tiene una forma general de π sobre una función trigonométrica.

Finalmente, la última propiedad que cubriremos se conoce como fórmula de duplicación .

Para que esta propiedad funcione, necesitaremos tanto la forma factorial de la función gamma como la fórmula para Γ ( n / 2). Veamos un ejemplo con n = 5.

Para terminar el ejemplo, sustituimos en una fórmula por Γ (11/2) usando la propiedad Γ ( n / 2) con n = 11.

Resumen de la lección

Una integral impropia es cualquier integral definida donde uno o más de sus límites de integración es infinito, o tiene un integrando que se acerca al infinito dentro de sus límites de integración. Un ejemplo importante de integral impropia es la integral de Euler de segundo tipo ; también conocida como función gamma . La representación integral de la función gamma es la siguiente, donde x > 0.

Junto con la representación integral, la función gamma también se puede representar en forma factorial cuando n es un número entero positivo.

Verá que se trabajó con esta versión de la función gamma cuando sea posible sobre la forma integral, ya que resolverla es a menudo la opción más simple entre las dos.

Junto con la capacidad de representar la función gamma como un factorial, repasamos otras seis propiedades en esta lección que vale la pena conocer.

Lista de las propiedades de la función gamma analizadas en esta lección. Las propiedades 1 a 4 no son el nombre oficial de las propiedades, sino el orden en que se revisaron en la lección.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador